2025年新高考数学一轮复习第3章拔高点突破05函数与导数背景下的新定义压轴解答题(九大题型)(学生版+解析).docxVIP

拔高点突破05函数与导数背景下的新定义压轴解答题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：曲率与曲率半径问题 2

题型二：曼哈顿距离与折线距离 5

题型三：双曲正余弦函数问题 6

题型四：凹凸函数 8

题型五：二元函数问题 9

题型六：切线函数新定义 11

题型七：非典型新定义函数 13

题型八：拐点、好点、不动点、S点 15

题型九：各类函数新概念 16

03过关测试 18

1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．

2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．

结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则

结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．

题型一：曲率与曲率半径问题

【典例1-1】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：

①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；

②圆与曲线在点处有相同的切线；

③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；

则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线的曲率半径的最小值；

(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．

【典例1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数）

??

(1)若，求；

(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为．

①求的值；

②设函数，若方程有两个不相等的实数根，证明：，其中为自然对数的底数，．

【变式1-1】定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；

(1)求实数a的值；

(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；

(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．

【变式1-2】（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶?二阶导数）

(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？

(2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；

(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.

题型二：曼哈顿距离与折线距离

【典例2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．

(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；

(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；

(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．

【典例2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：

(1)若，求的取值范围；

(2)若对一切实数恒成立，设，，且，求的最大值.

【变式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则

(1)①点，，