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初中几何9大模型（1）：半角模型

重要几何模型1--半角模型

模型特点

倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

如图①：

（1）∠2=1/2∠AOB；（2）OA=OB。

如图②：

连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。

典型例题1

如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．

【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAA证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF?=1/2∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．

【解析】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF．

在△ABG和△ADF中，

易证△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．

∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=1/2∠BAD．

∴∠GAE＝∠EAF．

在△AEG和△AEF中，

易证△AEG≌△AEF（SAS）．

∴EG＝EF，

∵EG＝BE﹣BG

∴EF＝BE﹣FD．

典型例题2

问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；

（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．

【解析】解：（1）CM＝AN+MN，

理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∴OA＝OC，

在△CDO和△ANO中，

易证△CDO≌△ANO（SAS）

∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，

∵∠MON＝60°，

∴∠COD+∠AOM＝60°，

∵∠AOC＝120°，

∴∠DOM＝60°，

在△DMO和△NMO中，

易证△DMO≌△NMO，

∴DM＝MN，

∴CM＝CD+DM＝AN+MN；

（2）补全图形如图2所示：

CM＝MN﹣AN，

理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，

在△CDO和△ANO中，

易证△CDO≌△ANO（SAS）

∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，

∴∠DOM＝∠NOM，

在△DMO和△NMO中，

易证△DMO≌△NMO（SAS）

∴MN＝DM，

∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．

典型例题3

如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．

（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；

（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；

（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

分析

典型例题4-5

已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

【分析】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB，

（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，

（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分