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2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题

1．下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等（）

A． B．

C． D．

2．若关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（）

A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．

3．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝5，BC＝2，则BE的长为（）

A．5 B．4 C．2 D．3

4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）

A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54

5．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2（）

A． B．AC＝BD C．∠COB＝2∠1 D．

6．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点所对的圆心角的大小是（）

A．60° B．75° C．80° D．90°

7．运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如表记录了3个时刻的数据，其中m＜17．

x

3

6

9

y

18

20

可推断出足球飞行到最高点时，下列数据中最接近的时刻x是（）

A．4.4 B．4.6 C．7.4 D．7.6

8．如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕AB的中点O倾时针旋转α°得到△DFE（0＜α＜45），DF交AC于点M，给出下面三个结论：

①CM＝EN；

②点A，C，E，B四点共圆；

③连接AD，AE，则∠DAE＝45°﹣α°．

上述结论中所有正确结论的序号是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题

9．点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为．

10．将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，x轴分别于点B，C．若点B的坐标为（0，6），则点C的坐标为．

12．如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，得到△ABC，连接CC．若CC∥AB°．

13．如图，点A，B，C，D在圆上，点D为的中点，DB＝2，BC的值为．

14．已知直角三角形的直角边为a，b，斜边为c．若a+b＝4，则c的最小值为．

15．已知△ABC内接于半径为3的⊙O，若BC＝3，则∠A＝．

16．已知点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+5上．

（1）若y1＜y2，h的取值范围是；

（2）将抛物线上A，B两点之间（含A，B两点）的图象设为G，则k的取值范围是．

三、解答题

17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．

18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点C落在格点C′处．

（1）旋转角为°；

（2）在图中画出旋转后的△A′B′C，其中A′，B′分别是A

19．关于x的方程x2﹣（m+4）x+3m+3＝0．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；

（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且x1﹣x2＝1，求m的值．

20．已知：如图，△ABC为锐角三角形．

求作：以BC为一边的Rt△MBC，使∠MBC＝90°，∠M＝∠A．

作法：①作AC边的垂直平分线DE；

②作BC边的垂直平分线FG，与直线DE交于点O；

③以O为圆心，OA为半径作⊙O；

④连接CO并延长，交⊙O于点M，连接BM

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵DE是AC的垂直平分线，FG是BC的垂直平分线，DE与FG交于点O，

∴OA＝OB＝OC，

∴点A，B，C都在⊙O上，

∵CM为⊙O的直径，

∴∠MBC＝①°（②），

∵，

∴∠M＝∠A（③），

∴△MBC即为所求作的三角形．

注：②③请填写推理依据．

21．如图，点A，B，C，P在⊙O上，PC平分∠APB．判断△ABC的形状，并证明你的结论．

22．如图，△ABC中，∠A＝∠B＝45°．点D在射线AB上，BD＝1．连接CD分别过点C，B作CD，交于点E，连接ED

23．已知抛物线y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表