专题14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形【考点精讲】（解析版）.docxVIP

专题14直角三角形、等腰三角形、等边三角形

等腰三角形

（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;

②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;

④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.?

（3）判定:

①有两条边相等的三角形是等腰三角形;

②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.

等边三角形

（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.

（2）性质:

①等边三角形的三边相等，三角相等,且都等于60°;

②“三线合一”;

③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.?

（3）判定:

①三条边都相等的三角形是等边三角形;

②三个角都相等的三角形是等边三角形;

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.?

直角三角形

（1）性质:

①直角三角形的两锐角互余;

②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;

③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.

（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.?

（3）勾股定理及其逆定理

①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方;

②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.

考点1：等腰三角形的性质与判定

【例1】（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（???????）

A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm

【答案】D

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，

此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），

当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，

此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），

则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D

【例2】（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（???????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．

【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；

因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；

因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；

因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．

【例3】（2021·江苏扬州市）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．

【详解】解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．

故共有3个点，

故选：B．

1．（2020?福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）

A．10 B．5 C．4 D．3

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．

【详解】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，

∴CD＝5．

故选：B．

2．（2020?齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．

【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．

【详解】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，

∵此时能组成三角形，

∴周长＝3+3+4＝10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，

所以周长＝3+4+4＝11．

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．

故答案为：10或11．

3．如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（）

A．120° B．75° C．60° D．30°

【分析】分三种情形讨论即可：a、当点O为等腰三角形顶点．b、当点A为等腰三角形顶点．C、当点P为顶点．

【解答】解：当点O为等腰三角形顶点时，∠A＝75°，

当点A为