2025版高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10.3变量的相关性与统计案例练习苏教版.docVIP

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10.3变量的相关性与统计案例

考点一相关关系的推断?

1.已知变量x和y近似满意关系式y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是 ()

A.x与y正相关,x与z负相关

B.x与y正相关,x与z正相关

C.x与y负相关,x与z负相关

D.x与y负相关,x与z正相关

2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性做试验,并用回来分析方法分别求得相关系数r如表:

甲

乙

丙

丁

r

0.82

0.78

0.69

0.85

则哪位同学的试验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性 ()

A.甲 B.乙

C.丙 D.丁

3.对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其相关系数的比较,正确的是 ()

A.r2r40r3r1 B.r4r20r1r3

C.r4r20r3r1 D.r2r40r1r3

【解析】1.选C.由y=-0.1x+1,知x与y负相关,即y随x的增大而减小,又y与z正相关,所以z随y的增大而增大,随y的减小而减小,所以z随x的增大而减小,x与z负相关.

2.选D.在验证两个变量之间的线性相关关系时,相关系数的肯定值越接近于1,相关性越强,在四个选项中只有丁的相关系数最大.综上可知丁的试验结果体现了A,B两变量有更强的线性相关性.

3.选A.由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2r40r3r1.

1.散点图中假如全部的样本点都落在某一函数的曲线旁边,变量之间就有相关关系.假如全部的样本点都落在某始终线旁边,变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域,则正相关.

2.利用相关系数判定,当|r|越趋近于1时相关性越强.若r0,则正相关;r0时,则负相关.

3.线性回来直线方程中:0时,正相关;0时,负相关.

考点二独立性检验?

【典例】(2024·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,

(2)填写下面列联表,并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量50

箱产量≥50

旧养殖法

新养殖法

(3)依据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).

【解题导思】

序号

联想解题

(1)

以频率代替概率,相互独立时交事务概率等于两事务概率的积

(2)

填入数据,代入卡方公式计算观测值,与临界值比较

(3)

中位数把频率分布直方图分为面积相等的两部分

【解析】(1)记B表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事务“新养殖法的箱产量不低于50kg

旧养殖法的箱产量低于50

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,

故P(B)的估计值为0.62.

新养殖法的箱产量不低于50

(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,

故P(C)的估计值为0.66.

因此,事务A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.

(2)

箱产量50

箱产量≥50

旧养殖法

62

38

新养殖法

34

66

由表中数据及χ2的计算公式得,

χ2=200×(62×66

由于15.7056.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg

箱产量低于55kg

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5

1.在2×2列联表中,假如两个变量没有关系,则应满意ad-bc≈0.|ad-bc|越小,说明两个变量之间关系越弱;|ad-bc|越大,说明两个变量之间关系越强.

2.解决独立性检验的应用问题,肯定要依据独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤:

(1)依据样本数据制成2×2列联表.

(2)依据公式χ2=n(ad-bc)

(3)比较χ2与临界值的大小关系,作统计推断.

(2024·南京模拟)某校在高一年级学生中,对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高一年级学生中随机抽取180名学生,其中男生105名;在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.

(1)试问:从高一年级学生中随机抽取1人,抽到男生的概率约为多少?

(2)依据抽取的180名学生的调查结果,完成下面的2×2列联表.并推断能否有97.5%的把握认为科学类的选择与性别有关?

选择自然

科学类

选择社会

科学类

合计

男生

女生

合计

【解析】(1)从高一年级学生中随机抽取1人,抽到