2024年人教版八年级上册数学第十三章轴对称母题变式《轴对称》教材难题生长题.pptx

母题变式《轴对称》教材难题生长题(人教版)第十三章轴对称

教材难题【例1】(人教8上P83拓广探索)(几何直观、推理能力、模型观念)如图，P，Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．

解题思路：根据等边三角形的性质，得∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．

解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．又∵∠BAP＋∠B＝∠APQ，∠C＋∠CAQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ＝30°．∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝120°．

难题生长1．0.45如图，MP和NQ分别垂直平分AB和AC．(1)若△APQ的周长为12，求BC的长；(2)若∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴△APQ的周长＝AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC，∵△APQ的周长为12，∴BC＝12．(2)∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，∵∠BAC＝105°，∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°，∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°．

2．0.35如图1，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且△APQ为等边三角形，AB＝AC．(1)求证：BP＝CQ；(1)证明：如图，过点A作AD⊥BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵△APQ为等边三角形，AD⊥BC，∴PD＝QD，∴BD－PD＝CD－QD，即BP＝CQ．答案图

(2)如图1，若∠BAC＝120°，AP＝3，则BC的长为；?(3)若∠BAC＝120°，沿直线BC向右平移△APQ得到△APQ(如图2)，AQ与AC交于点M．当点P移动到何处时，△AAM≌△CQM？证明你的结论．9

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教材难题【例2】(人教8上P93拓广探索)(几何直观、推理能力、模型观念)如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．解题思路：根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再证明∠CBD＝∠E＝30°，即可得证．

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3．0.35△ABC是等边三角形，D在射线AC上，延长BC至E，使CE＝AD，连接DB，DE．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∵AD＝DC，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝30°，又∵AD＝CE，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，又∵∠CDE＋∠CED＝∠BCD，∴2∠CED＝60°，∴∠CED＝30°＝∠CBD，∴DB＝DE．难题生长(1)如图1，若AD＝DC，求证：DB＝DE；

(2)如图2，当D在线段AC延长线上时，求证：DB＝DE．

?答案图

4．0.35如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．再过点A作AF∥BC，交ED延长线于点F，EF交AB于M，连接BF．(1)∠DBC＝°，∠DEC＝°；?(2)①若EM＝12，求BD的长；②求证：AB垂直平分DF．3030?

②证明：∵AF∥BE，∴∠AFD＝∠CED，∵BD为△ABC的中线，∴AD＝DC，∵∠ADF＝∠CDE，∴△AFD≌△CED，∴AF＝CE＝CD＝AD，DF＝DE，∵由(2)得BD＝DE，∴DF＝BD．∵∠FDB＝∠DBE＋∠E＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝BD，∵AF＝AD，∴AB垂直平分DF．