2020年丘成桐大学生数学竞赛决赛Probability and Statistics(Individual).pdf

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YauCollegeMathCompetition2020FinalProbabilityandStatistics

IndividualExamProblemSet1(Saturday,October24,2020)

PROBLEM1.SupposethatXnisasequenceofindependent,iden-

ticallydistributedrandomvariableswiththeuniformdistributiononthe

unitinterval0,1.Foreachx0,1,deﬁne

Xx1,Xnx;

n0,Xnx.

Letf:0,1beannondecreasingcontinuousfunctionon0,1and

XxXx

Bnx;ff.

Showthat

(1)Bnx;fisapolynomialinxofdegreen;(2)Bnx;fisnondecreas-

inginx;

(3)Bnx;ffxuniformlyon0,1.

PROBLEM2.AnurncontainsNballsmarked1,2,...,N.Aballisdrawn

fromtheurnrepeatedlyandindependentlywithreplacement.LetTNbe

theﬁrsttimeeveryballintheturnhasbeendrawnatleastonce.Showthat

TN/NlogNconvergesto1inprobability.

PROBLEM3.SupposeX,...,Xnisarandomsamplefromanun-

knownprobabilitydistributionwithﬁnitemean,variance,andthirdcen-

tralmoment,denotedby,,and3X1,respectively.Itisof

interesttostudytherelationshipbetween

1n1n

¯2¯2

XnXiandSn1XiX.

i1i1

(1)Showthattheyareindependentwhentheunderlyingdistribution

isGaussian.

¯2

该用户很懒，什么也没介绍

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