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S.-T.YauCollegeStudentMathematicsContests2022
AlgebraandNumberTheory
Individual
Problem1.LetMdenotethe-vectorspaceconsistingofn×n-matrices.Let
Iddenotetheidentitymatrix.
Pleasedetermineall-linearfunctionsσonMsuchthatσ(AB)=σ(BA)and
σ(Id)=n.
Problem2.LetpbeaprimenumberandFafiniteextensionofthefieldpof
p-adicnumbers.
(a)Supposep=2.ProvethateveryelementofOFcanbewrittenasasumof
threesquaresinOF.
(b)SupposeF=.ProvethateveryelementofOcanbewrittenasasumof
2F
foursquaresinOF.
Problem3.LetR=,whereprunsthroughallprimenumbers.
pp
(a)ShowthatthereexistsamaximalidealofRsuchthatR/isafieldof
characteristiczeroinwhich−1isnotasquare.
(b)ShowthatthereisnomaximalidealofRadmittinganembeddingR/→.
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