鲁教版初中数学八年级下册知识点汇总.docx

第6章特殊的平行四边形

一、知识框架

二．知识概念

菱形的定义（重点）

★一组邻边相等一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

一组邻边相等

平行四边形 菱形

注意：定义既是菱形的判定方法又是性质

菱形的性质（重点）

★定理：菱形的四条边都相等.

★定理：菱形的对角线互相垂直

★菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都是它的对称轴

★菱形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心

★注意:(1)菱形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的一切特征

(2)菱形的四条边都相等,所以菱形的周长等于边长的4倍

(3)菱形的对角线互相垂直,所以两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,与菱形有关的几何问题一般都是从其中的一个直角三角形入手解决的

(4)菱形是轴对称图形,因此每一条对角线都平分一组对角,这是进行角的有关计算或证明的基础

(5)菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半

菱形的判定（重点）

★定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,对角线互相垂直平分的四边形才是菱形

★定理：四条边都相等的四边形是菱形.

菱形的面积（重点）

★菱形的面积计算除利用平行四边形面积公式外也可用对角线长来计算，若a,b分别表示两条对角线长,则菱形的面积S=ab

事实上,在对角线互相垂直的四边形中,一条对角线将四边形分成有公共底边的两个三角形,这两个三角形的高的和恰好是四边形的另一条对角线,由三角形的面积公式可得,对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半

★菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边之间的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半

矩形的概念

★有一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

有一个角是直角

平行四边形 矩形

矩形的性质（重点）

★定理：矩形的四个角都是直角

注意：此定理常作为证明两个三角形全等的隐含条件

★定理：矩形的对角线相等

★定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

矩形的判定（难点）

★定理:对角线相等的平行四边形是矩形

★定理:有三个角是直角的四边形是矩形

★推论:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

★注意:(1)判定矩形时,首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定,然后根据已知条件选择方法

(2)用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件:一是有一个角是直角,二是平行四边形.也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形

(3)用“对角线相等的平行四边形是矩形”证明一个四边形是矩形,也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形。

矩形的轴对称性（难点）

★矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对称轴分别是过每一组对边中点的直线,因此它的两条对称轴互相垂直。

★矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它的对称中心是两条对角线的交点；它有2条对称轴,对称轴之间的位置关系是互相垂直。

正方形的概念

★有一组邻边相等的矩形叫做正方形

★注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形的性质（重点）

★定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等

★定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分

★正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心

★正方形是轴对称图形,两条对角线所在的直线,以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴

注意：(1)正方形既是菱形,又是矩形,而菱形、矩形又是平行四边形,因此正方形具有平行四边形、菱形、矩形的性质.

正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形

正方形的判定(重难点)

★定理:对角线相等的菱形是正方形

★定理:对角线垂直的矩形是正方形

★定理:有一个角是直角的菱形是正方形

★判定正方形的一般顺序:先证明它是平行四边形——再证明它是菱形(或矩形）——最后证明它是正方形

★注意:判定一个四边形是正方形主要根据定义,先判定它是矩形再判定它是菱形,或先判定它是菱形再判定它是矩形,即①先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直;②先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等。

菱形、矩形、正方形与平行四边形之间的区别与联系(难点)

矩形正方形平行四边形菱形一个角是直角一个角是直角

矩形

正方形

平行四边形

菱形

一个角是直角

一个角是直角

一组邻边相等

一组邻边相等

对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形

对角线相等且垂