专题12 几何模型（2）—半角模型（原卷版）.pdfVIP

专题12几何模型（2）—半角模型

【模型介绍】

半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半

如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”

【解题关键】

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法

【典型例题】

【题型一：等边直角三角形中的半角模型】

【模型】如图，△BDC为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是AB和AC上的两个点，

且∠MDN=60°，△ABC为等边三角形

【结论】结论①：MN=BM+CN；

证明：如下图1，延长AB到H点，并使得BH=CN，连接DH，

∵△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，

即∠HBD=∠NCD=90°，

=

在△HBD和△NCD中：∠=∠=90∘

=

∴△HBD≌△NCD(SAS)，

∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，

又∠BDC=120°，∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠CDN=60°，

即∠BDM+∠HDB=60°，

∴∠HDM=∠NDM=60°，

=

在△HDM和△NDM中：∠=∠=60∘

=

∴△HDM≌△NDM(SAS)，

∴MN=MH=MB+BH=MB+CN

证明完毕！

结论②：如上图1中：△AMN的周长=2倍等边△ABC的边长；

或者说成：3倍△AMN的周长=2倍等边三角形的周长

证明：由结论①知：MN=MB+CN，

=++=

++(+)=

(+)+(+)

=+=2

△2△120°

【例】如图，是边长为的等边三角形，是顶角为的等腰三角形，以点

∠=60°

为顶点作，点、分别在、上．

1△______

（）如图①，当//时，则的周长为；

2+=

（）如图②，求证：．

1△3△∠=120°

【练】如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，

60°△

以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的

周长．

2△ABCABACMND△ABC

【练】在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，

MDN60°BDC120°BDDCMN