北师大版数学八下期末重难点培优训练专题03 解题技巧专题 利用等腰三角形的三线合一作辅助线(解析版).doc

专题03解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【题型一底边有中点时，连中线】 1

【题型二底边无中点时，作高】 7

【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 14

【典型例题】

【题型一底边有中点时，连中线】

例题：（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，．D为边的中点，E，F分别在上，于点D．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)求的最小值．

【答案】(1)见解析

(2)最小值为

【分析】（1）连接，证明，解题即可；

（2）先根据勾股定理求得，则，取中点G，连接，则，即即可解题．

【详解】（1）如图，连接．

∵为直角三角形，且，D为的中点，

∴，且平分，，

∴．????????????????

又∵，

∴，

∵，

∴，????????????????

∴，????????????????

∴，

∴是等腰直角三角形．

（2）∵，

∴，

∴，

取中点G，连接，

∵，

∴，

∴，

∴最小值为．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键．

【变式训练】

1．（2022春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．

(1)求证：；

(2)若，求的周长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，可得平分，再根据证明，即可得到结果；

（2）根据已知条件证明为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到，即可得到结果；

【详解】（1）证明：连接，

∵，为边的中点，

∴平分，

∴，

∵，，

∴，

又，

∴，

∴；

（2）解：，，

∴为等边三角形，

∴，

，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

∴的周长为．

【点睛】本题主要考查了三线合一，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

2．（2022春·北京大兴·八年级统考期末）已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．

(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；

(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．

【答案】(1)；

(2)，理由见解析．

【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；

（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到．

【详解】（1）解：连接，

∵，，点是的中点

∴，且，平分，

∴，，

又∵

∴

∴

∴（ASA）

∴．

（2），理由如下：

连接，

由（1）可知：，，

∴

在和中，

∴（ASA）

∴

∵

∴．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．

3．（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，点O为的中点．

(1)若，两边分别交于E，F两点．

①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；

②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．

(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．

【答案】(1)①见解析；②18

(2)2

【分析】（1）①由“”可证，可得；

②由“”可证，可得，即可求解；

（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．

【详解】（1）①证明：如图1，连接，

∵，，

∴.

∵点O为的中点，

∴，

∴和是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

②解：如图2，连接，

同理可证：，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：18；

（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，

∵，，点O为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【题型二底边无中点时，作高】

例题：（2022春·江苏·八年级期末）如图，点D、E在的边上，，，求证：．

【答案】见解析

【分析】过点A作于P，根据等腰三角形三线合一，即可得到答案．

【详解】证明：如图，过点A作于P，

∵，，

∴；

∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查等腰三角形性质：三线合一，解题的关键是作辅助线．

【变式训练】

1．（2022春·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，在中，，．求边上的高的长．

【答案】边上高的为

【分析】过作于，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理，得出，即可得出边上高的长．

【详解