2025年新高考数学一轮复习第6章第02讲等差数列及其前n项和(十大题型)(讲义)(学生版+解析).docxVIP

第02讲等差数列及其前n项和

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：等差数列的有关概念 4

知识点2：等差数列的有关公式 4

知识点3：等差数列的常用性质 5

解题方法总结 6

题型一：等差数列的基本量运算 6

题型二：等差数列的判定与证明 7

题型三：等差数列的性质 9

题型四：等差数列前n项和的性质 10

题型五：等差数列前n项和的最值 11

题型六：等差数列的实际应用 12

题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 13

题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 15

题型九：利用等差数列的单调性求解 17

题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 18

04真题练习·命题洞见 20

05课本典例·高考素材 20

06易错分析·答题模板 22

易错点：忽视数列的首项 22

考点要求

考题统计

考情分析

（1）等差数列的概念

（2）等差数列的通项公式与求和

（3）等差数列的性质

2024年甲卷（文）第5题，5分

2024年II卷第12题，5分

2023年甲卷（文）第5题，5分

2023年I卷第7题，5分

2022年上海卷第10题，5分

2022年乙卷（文）第13题，5分

（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算．

（2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．

复习目标：

（1）理解等差数列的概念．

（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．

（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．

（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．

知识点1：等差数列的有关概念

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．

（2）等差中项

若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．

【诊断自测】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．证明：数列是等差数列；

知识点2：等差数列的有关公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．

（2）等差数列的前项和公式

设等差数列的公差为，其前项和．

【诊断自测】（2024·四川凉山·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则．

知识点3：等差数列的常用性质

已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．

（1）通项公式的推广：．

（2）在等差数列中，当时，．

特别地，若，则．

（3），…仍是等差数列，公差为．

（4），…也成等差数列，公差为．

（5）若，是等差数列，则也是等差数列．

（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．

（7）若项数为偶数，则；；．

（8）若项数为奇数，则；；．

（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．

（10）．数列是等差数列?（为常数）．

（11）等差数列的前n项和的最值

公差为递增等差数列，有最小值；

公差为递减等差数列，有最大值；

公差为常数列．

特别地

若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；

若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．

（12）若已知等差数列，公差为，前项和为，则：

①等间距抽取为等差数列，公差为．

②等长度截取为等差数列，公差为．

③算术平均值为等差数列，公差为．

【诊断自测】已知数列为等差数列，，则．

解题方法总结

（1）等差数列中，若，则．

（2）等差数列中，若，则．

（3）等差数列中，若，则．

（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．

题型一：等差数列的基本量运算

【典例1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（????）

A．3 B．7 C．11 D．23

【典例1-2】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

【方法技巧】

等差数列基本运算的常见类型及解题策略：

（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．

（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．

（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．

（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．

【变式1-1】已知等差数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C．1 D．

【变式1-2】（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数