离散数学形成性考核作业（三）.docxVIP

离散数学图论部分综合练习辅导

本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法。

图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。

本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。

一、单项选择题

1．设图G的邻接矩阵为

则G的边数为().

A．5B．6C．3D．4

正确答案：D

上学期的作业中，有的同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：

定义3.3.1设G=V，E是一个简单图，其中V={v1，v2，?,vn}，则n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵．其中各元素

i=j

而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j 行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有8□2=4条边。

2．设图G＝V,E，则下列结论成立的是().

A．deg(V)=2□E□

C．vdeg(v)=2E正确答案：C

B．deg(V)=□E□

该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理：定理3.1.1设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则

3．图G如右图所示，以下说法正确的是().

A．{(a,d)}是割边

B．{(a,d)}是边割集C．{(d,e)}是边割集

D．{(a,d),(a,c)}是边割集正确答案：C

上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：

ab□□

ab□□

□c□

□c

定义3.2.9设无向图G=V,E为连通图，若有边集E1□E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子

图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）

如果答案A正确，即删除边(a,d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。

4．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=().

A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋2

正确答案：A

该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。

定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则下列欧拉公式成立.

v-e+r=2

5．无向图G存在欧拉通路，当且仅当().

A．G中所有结点的度数全为偶数

B．G中至多有两个奇数度结点

C．G连通且所有结点的度数全为偶数

D．G连通且至多有两个奇数度结点正确答案：D

上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择，才是正确的。复习定义和定理：

定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；

若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路；

……

定理4.1.1无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或

2个奇数度数的结点.

推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数.

所以，正确答案应该是D.

6．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的(