第一型曲面积分.pptVIP

例6.求椭圆柱面例7.计算内容小结补充.设?是四面体第五节一、有向曲面及曲面元素的投影指定了侧的曲面叫有向曲面,二、对坐标的曲面积分的概念与性质对一般的有向曲面?,2.定义：3.性质*目录上页下页返回结束第四节一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,?表示n小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).最大值定义:设?为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在?上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对?做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面?上对面积函数,?叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.?对积分域的可加性.则有?线性性质.在光滑曲面?上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.?积分的存在性.若?是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在?上连续,存在,且有二、第一型曲面积分的计算则曲面积分这里是在xOy平面上的投影，而是曲面的面积元素。说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例3,例5)例1.计算曲面积分其中?是球面被平面截出的顶部.解:思考:若?是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例2.计算其中?是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示?在平面例3.求半径为R的均匀半球壳?的重心.解:设?的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球面坐标例4.计算其中?是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式例5.计算其中?是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.位于xOy面上方及平面z=y下方那部分柱面?的侧面积S.解:取解:取球面坐标系,则1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧.面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域同上平面方程投影域一、有向曲面及曲面元素的投影二、第二型曲面积分的概念与性质三、第二型曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系第二型曲面积分?曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧?设?为有向曲面,侧的规定表示:其面元在xOy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面?的流量?.分析:若?是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则设?为光滑的有向曲面,在?上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;?叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对?的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积*目录上页下页返回结束