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不完全角度下的CT重建算法分析

1.1不完全角度的概念

近年来，压缩感知理论在各种领域引起了广泛的关注。与传统的信号重建方法不同，CS理论REF_Re\r\h[3]只需几个采样点即可准确地恢复原始信号。CS理论为研究不完全角重构问题提供了一种新的途径。

有限角度问题和稀疏角度问题都属于不完全角度问题。有限角问题是指扫描角度小于180°；稀疏角度问题是指在在一定的扫描角度的范围内，相邻扫描角度之间会存在空间REF_Ref23393\r\h[17]，也就是等距扫描。在下文会分别介绍。

1.2不完全角度的重建问题

不完全角度重建是CT图像重建中的一个难题。如下图：

图2-1(a)原始图像(数字体膜)(b)稀疏角度重建结果(c)有限角度重建结果REF_Re\r\h[4]

由图可以看出，不完全角度数据投影是，FBP算法的重建质量会受到很大的影响：如图2-1(b)所示，稀疏角度的情况下，因为数据投影不完全，所以结果会出现条纹状的影像，图像的细节也会变得模糊不清；如图2-1(c)所示，在有限角度的情况下因为缺失了连续角度范围的投影数据，所以FPB重建图像在部分方向上的信息会缺失很多。

由计算机模拟实验可知，分析角度不足相关问题时，由于被测目标的投影数据量的缺失无法满足解析法必要的条件，使用解析重建算法时就不能获得更好的重建结果，由于这个原因专家学者们一般使用迭代算法，因为迭代算法对数据完整性的要求较低。但是迭代算法占用的储存空间很大，并且运算时间跟解析算法相比也有着很大的差异。所以，对于有限角度数据重建问题，现已得出的重建算法在重建速率和重建准确率上都不能满足很高的要求。由于这个原因，在诸多对应的使用条件下，大多都是重建算法成为限制有限角度问题分析的最致命的问题REF_Ref23393\r\h[17]。

1.1.1正则化框架

在图像重建的过程中会遇到很多的影响因素，但是主要的影响因素便是问题的不适定性，不适定性也可以叫做反问题，它是相对于适定性给出的结论，不满足适定性定义的问题便可以叫做适定性，它的概念可以由Hadamard引入REF_Re\r\h[6]。

设X(解空间)和Y(数据空间)为度量空间，ρx和ρy分别是X和Y的度量，我们不妨引入下面这个例子：

(1.1.1)

下文展现出适定性的基本原理：

称方程(1.1.1)是适定且同时满足三个条件:

(1)(解的存在性)对任意y∈Y，都存在a∈X满足方程(1.1.1)。

(2)(解的唯一性)设,∈Y,若,分别是方程(1.1.1)对应于≠的解，则有≠。

(3)(解的稳定性)对任意ε0，存在δ(ε)0，只要

(1.1.2)

便有

(1.1.3)

反之，若便称其为不适定的。

对于不适定问题的研究,通常使用正则化方法。

定义1.1.2:

(1.1.4)

对所有x∈X成立，α称为正则化参数。

下面是Tikhonov正则化方法的求解过程REF_Re\r\h[7]。

在求解线性代数方程组Fx=y时，问题是不适定的，如果想让问题变为适定性，这时候就需要在已经获得的函数上加上一个罚项，这样函数便由以前的不适定变味了适定，这样就方便了问题的求解，变化后的新问题变为：

(1.1.5)

其中,叫做正则化参数。求的极小值，等同于求(1.1.1)式近似解。

从上面的基本介绍中我们不难发现，正则化理论对于不适定问题的处理,本质上是加入一些先验信息进行约束，得到问题的稳定近似解。

1.1.2稀疏优化理论

伴随着信息论的发展与成熟，稀疏性作为衡量信号压缩性的指标，一直被人们高度重视。在过去的30多年里，稀疏性在信息处理领域显示出巨大的作用。

对于Ax=b，通常是没有办法求出唯一解的。信号的某些部分没有办法观察到，这会让观测到的信号与原信号出现偏差。导致专家学者们观测到的向量b的长度会小于实际中的信号x，因为观测中的偏差，这就导致没有办法将唯一确定的信号x恢复出来。但是，如果信号x是稀疏的，那么：

(1.1.6)

其中，。表示信号x非0分量的个数。对于行数量为m，列数量为n且满秩的矩阵A，如果数量少于矩阵A行数目的一半，满足上述条件，就可以恢复出x。再欠定方程组Ax=b中可求出唯一的稀疏解REF_Re\r\h[8]。

通过各路专家学者的不懈努力,专家学者探究出了范函数联系着信号的稀疏程度，如下文所示：

(1.1.7)

经过专家学者们不断地研究，人们发现若是想恢复稀疏信号，那么重要的是研究问题是否具有相同的意义。由于这个原因，想要恢复稀疏信号，首先就要研究问题的等价。

专家学