(鲁教版初四)九年级下册数学知识点汇总.docx

第五章圆

圆

1.定义

(1)几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中,定点称为圆心,定长称为半径的长（通常也称为半径）。以点O圆心的圆记作⊙O作“圆O

(2)轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆

(3)集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母d表示。圆心决定圆的位置,半径和直径决定圆的大小。在同一个圆或等圆中,半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍,半径是直径的1/2。

2.点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内

(1)点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；

(2)点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；

(3)点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。

3.圆的有关概念

(1)弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。

(2)圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

(3)弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离

(4)等弧:在同圆中能够重合的弧叫等弧

二、圆的对称性

1.圆是周对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。

2.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心。一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性

3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧

特别注意:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

垂径定理的逆定理:平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦

垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等

4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

三、圆周角

1.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角

2.圆周角定理:同弧(等弧)所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半

3.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等

4.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径

四、确定圆的条件

1.三点定圆

(1)经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上

(2)经过三点A、B、C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置

(3)定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆(三点定圆)

4.三角形与圆的位置关系

(1)三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心

(2)锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外

四边形与圆的位置关系

(1)如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做四边形的外接圆，这个四边形叫做圆的内接四边形。

(2)重要性质:

=1\*GB3①圆内接四边形对角互补；

=2\*GB3②圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角；

=3\*GB3③对角互补的四边形内接于圆。

五、直线和圆的位置关系

三种位置关系

直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线；

直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；

直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的,即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。

用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系来揭示圆和直线的位置关系

(1)回忆:直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离；连结直线外一点与直线所

有点的线段中,最短的是垂线段

(2)设⊙O的圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r,则

=1\*GB3①直线l和⊙O相离dr

=2\*GB3②直线l和⊙O相切d=r

=3\*GB3③直线l和⊙O相交dr

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

3.切线定理:圆的切线垂直于过切点的半径

4.切线长定理

(1)切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点间的线段的长,叫做切线长

(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线