2025年新高考数学一轮复习第6章第04讲数列的通项公式(十八大题型)(讲义)(学生版+解析).docxVIP

第04讲数列的通项公式

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：求数列通项公式的常用方法 4

题型一：观察法 7

题型二：叠加法 8

题型三：叠乘法 8

题型四：形如an+1=pan+q型的递推式 9

题型五：形如an+1=pan+kn+b型的递推式 10

题型六：形如an+1=pan+rqn型的递推式 题型七：形如an+1=panq(p0,an0)型的递推式

题型八：形如an+1=manpan+q型的递推式

题型九：形如an+2=pan+1+qan型的递推式 题型十：形如an+1=man+tpan+q

题型十一：已知通项公式an与前n项的和Sn关系求通项问题 14

题型十二：周期数列 17

题型十三：前n项积型 18

题型十四：“和”型求通项 20

题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型 20

题型十六：因式分解型求通项 21

题型十七：双数列问题 22

题型十八：通过递推关系求通项 23

04真题练习·命题洞见 25

05课本典例·高考素材 26

06易错分析·答题模板 28

易错点：已知Sn求an 28

答题模板：已知Sn求an 28

考点要求

考题统计

考情分析

（1）构造法

2024年甲卷（理）第18题，12分

2023年乙卷（文）第18题，12分

2023年甲卷（理）第17题，12分

2023年II卷第18题，12分

高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.

复习目标：

掌握数列通项的几种常见方法．

知识点1：求数列通项公式的常用方法

类型Ⅰ观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．

类型Ⅱ公式法：

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．

类型Ⅲ累加法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：

=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；

=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．

类型Ⅳ累乘法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相乘，可得：

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．

类型Ⅴ构造数列法：

（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：

（1）若时，数列{}为等差数列；

（2）若时，数列{}为等比数列；

（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出

（二）形如型的递推式：

（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出

（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出

法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．

（3）当为任意数列时，可用通法：

在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．

类型Ⅵ对数变换法：

形如型的递推式：

在原递推式两边取对数得，令得：，