2025年新高考数学一轮复习第6章第03讲等比数列及其前n项和(九大题型)(讲义)(学生版+解析).docxVIP

第03讲等比数列及其前n项和

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：等比数列的有关概念 4

知识点2：等比数列的有关公式 4

知识点3：等比数列的性质 5

解题方法总结 6

题型一：等比数列的基本运算 6

题型二：等比数列的判定与证明 7

题型三：等比数列项的性质应用 9

题型四：等比数列前n项和的性质 10

题型五：奇偶项求和问题的讨论 11

题型六：等差数列与等比数列的综合应用 12

题型七：等比数列的范围与最值问题 13

题型八：等比数列的实际应用 14

题型九：公共项与插项问题 16

04真题练习·命题洞见 18

05课本典例·高考素材 19

06易错分析·答题模板 20

易错点：不能灵活运用等比数列的性质 20

考点要求

考题统计

考情分析

（1）等比数列的有关概念

（2）等比数列的通项公式与求和公式

（3）等比数列的性质

2023年甲卷（理）第5题，5分

2023年II卷第8题，5分

2023年乙卷（理）第15题，5分

高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．

复习目标：

（1）理解等比数列的概念．

（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．

（3）了解等比数列与指数函数的关系．

知识点1：等比数列的有关概念

（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．

（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．

即是与的等比中项?，，成等比数列?．

【诊断自测】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且.证明：数列是等比数列.

知识点2：等比数列的有关公式

（1）等比数列的通项公式

设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．

推广形式：

（2）等比数列的前n项和公式

等比数列的公比为，其前项和为

注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．

②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．

③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．

【诊断自测】若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（????）

A．2 B．4 C． D．

知识点3：等比数列的性质

（1）等比中项的推广．

若时，则，特别地，当时，．

（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．

②设与为等比数列，则也为等比数列．

（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．

当或时，为递增数列；

当或时，为递减数列．

（4）其他衍生等比数列．

若已知等比数列，公比为，前项和为，则：

①等间距抽取

为等比数列，公比为．

②等长度截取

为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．

【诊断自测】在正项等比数列中，，是的两个根，则.

解题方法总结

（1）若，则．

（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．

（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为

等比数列，公比为．

（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．

（5）为等比数列，若，则成等比数列．

（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．

（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间

项的平方．

（8）若为正项等比数列，则为等差数列．

（9）若为等差数列，则为等比数列．

（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．

题型一：等比数列的基本运算

【典例1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．

【典例1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列的前三项和为28且，则（???）

A． B． C． D．

【方法技巧】

等比数列基本量运算的解题策略

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的