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第05讲数列求和
目录TOC\o1-2\h\z\u
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03考点突破·题型探究 4
知识点1:数列求和常用方法 4
解题方法总结 5
题型一:通项分析法 8
题型二:公式法 9
题型三:错位相减法 10
题型四:分组求和法 12
题型五:裂项相消法之等差型 13
题型六:裂项相消法之根式型 15
题型七:裂项相消法之指数型 17
题型八:裂项相消法之三角型 19
题型九:倒序相加法 20
题型十:分段数列求和 21
题型十一:并项求和法之an+1+(?1)nan=kn+
题型十二:并项求和法之an=(?1)nf(n)型
题型十三:先放缩后裂项求和 24
04真题练习·命题洞见 26
05课本典例·高考素材 27
06易错分析·答题模板 29
易错点:用错位相减法求和时项数处理不恰当出错 29
答题模板:错位相减法求前n项和 29
考点要求
考题统计
考情分析
(1)公式法
(2)奇偶讨论、并项分类
(3)倒序相加法
(4)裂项相消法
(5)错位相减法
2023年甲卷(理)第17题,12分
2023年II卷第18题,12分
2023年I卷第20题,12分
高考对数列求和的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.数列的求和主要考查等差、等比数列的前项和公式及非等差、等比数列的求和方法,其综合性较强.数列求和问题以解答题的形式为主,偶尔出现在选择填空题当中,常结合函数、不等式综合考查.
复习目标:
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
(2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
知识点1:数列求和常用方法
一.公式法
(1)等差数列的前n项和,推导方法:倒序相加法.
(2)等比数列的前n项和,推导方法:乘公比,错位相减法.
(3)一些常见的数列的前n项和:
①;
②;
③;
=4\*GB3④
二.几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.
(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和.
(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法:如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.
【诊断自测】已知等差数列的前项和为,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,定义为不超过的最大整数,例如,,求数列的前项和.
(说明:)
解题方法总结
常见的裂项技巧
积累裂项模型1:等差型
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
积累裂项模型2:根式型
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
积累裂项模型3:指数型
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6),设,易得,
于是
(7)
积累裂项模型4:对数型
积累裂项模型5:三角型
(1)
(2)
(3)
(4),
则
积累裂项模型6:阶乘
(1)
(2)
常见放缩公式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10)
;
(11)
;
(12);
(13).
(14).
题型一:通项分析法
【典例1-1】观察如下规律:,该组数据的前项和为.
【典例1-2】求和.
【方法技巧】
先分析数列通项的特点,再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识.
【变式1-1】数列9,99,999,的前项和为
A. B. C. D.
【变式1-2】求数列1,,,,,的前项之和.
【变式1-3】(2024·上海徐汇·模拟预测)如图,在杨辉三角中,斜线上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前项和为,则等于.
题型二:公式法
【典例2-1】(2024·湖北黄冈·一模)已知等比数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【典例2-2】(2024·高三·四川·学业考试)已知等差数列的前项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求的前项和.
【方法技巧】
针对数列的结构特征,确定数列的类型,符合等差或等比数列时,直接利用等差、等比数列相应公式求解.
【
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