2025年新高考数学一轮复习第8章拔高点突破01定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题、坎迪定理(五大题型)(学生版+解析).docxVIP

拔高点突破01定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题、坎迪定理

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：定比点差法 2

题型二：齐次化 4

题型三：极点极线问题 5

题型四：蝴蝶问题 7

题型五：坎迪定理 10

03过关测试 13

1、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通过代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程，提高解题效率。

2、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式（即各项次数相等）来简化计算和提高求解效率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易地求解斜率之和或斜率之积等问题。

3、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦.

4、坎迪定理是数学领域中的一个重要定理，也被称为蝴蝶定理的一般形式。该定理描述了在圆内的一段弦上任意一点与圆上任意两点相连并延长交圆于另外两点，连接这两延长交点与弦上另外两点相交，所得线段长度的倒数之差为常数。

题型一：定比点差法

【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知椭圆：的离心率为，且经过点

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上．

【典例1-2】已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有，求椭圆的离心率．

【变式1-1】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．

(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；

(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．

【变式1-2】已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求

【变式1-3】已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．

【变式1-4】已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．

题型二：齐次化

【典例2-1】已知椭圆的中心为，长轴、短轴分别为，，，分别在椭圆上，且，求证：为定值.

【典例2-2】如图，过椭圆上的定点Px0,y0作倾斜角互补的两直线，设其分别交椭圆于两点，求证：直线

【变式2-1】已知椭圆的左顶点为，，为上的两个动点，记直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【变式2-2】已知椭圆C：.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点.

(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；

(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.

题型三：极点极线问题

【典例3-1】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率为，直线与圆相切.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)椭圆方程，平面上有一点.定义直线方程是椭圆在点处的极线.

①若在椭圆上，证明:椭圆在点处的极线就是过点的切线;

②若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点.证明:三点共线.

【典例3-2】阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质?定理：①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，