2025年新高考数学一轮复习第8章拔高点突破02圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题(五大题型)(学生版+解析).docxVIP

拔高点突破02圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 6

题型一：仿射变换问题 6

题型二：非对称韦达问题 8

题型三：椭圆的光学性质 10

题型四：双曲线的光学性质 12

题型五：抛物线的光学性质 14

03过关测试 16

一、仿射变换问题

仿射变换有如下性质：

1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；

2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；

3、其它不变关系．

我们以椭圆为例阐述上述性质．

椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：

（1）点变为；

（2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变；

（3）图形面积变为，对应图形面积比不变；

（4）点、线、面位置不变（平?直线还是平?直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；

（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变

总结可得下表：

变换前

变换后

方程

横坐标

纵坐标

斜率

面积

弦长

不变量

平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比

二、非对称韦达问题

在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．

三、光学性质问题

1、椭圆的光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．

【引理1】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．

【引理2】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．

【引理3】设椭圆方程为，分别是其左、右焦点，若点在椭圆外，则．

2、双曲线的光学性质

从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．

【引理4】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．

【引理5】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．

【引理6】设双曲线方程为，分别是其左、右焦点，若点在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则．

3、抛物线的光学性质

从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．

【结论1】已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）

【结论2】已知：如图，抛物线，是抛物线的焦点，入射光线从点发出射到抛物线上的点，求证：反射光线平行于轴．

题型一：仿射变换问题

【典例1-1】如图，作斜率为的直线与椭圆交于两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为．

【典例1-2】Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为．

【变式1-1】已知椭圆的标准方程为．

(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

【变式1-2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0经过点，其离心率为，设，，是椭圆

(1)求椭圆的标准方程；

(2)证明：的面积是一个常数．

【变式1-3】对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．

(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足