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解集合问题的几种方法

河北代学奎

集合是历来高考查的重要内容之一，是整个高中内容的根底，由于集合知识的抽象性，给处理集合问题带来一定的困难，为此结合历年高考集合题，例析解集合问题的几种常用方法，供参考。

数轴法

由实数与数轴上的点对应关系，可以用数轴上的点或区间表示数集，从而直观形象地分析问题和解决问题。

例1(2005年天津理工高考)设集合A={x||4x－1|≥9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}那么A∩B=()

A．(－3，－2B．(－3，－2∪[0，]

C．(－∞，－3)∪(，+∞D．(－∞，－3)∪[，+∞

解：集合A={x||4x－1|≥9，x∈R}={x|x≥或x≤－2，x∈R}，集合B={x|≥0，x∈R}={x|x－3或x≥0}，把集合A

－32.5

－3

2.5

－2

0

可得A∩B=(－∞，－3)∪[，+∞

例2(2005年重庆理工高考)集合A={x∈R|x－x－60}，B={x∈R||x－2|2}，那么A∩B=___________。

解：A={x∈R|x－x－60}={x|－2x3},B={x∈R||x－2|2}={x|0x4}.把集合A和集合B所表示的范围在

－2430数轴上表示出来，可得A∩B={x|0x3}

－2

4

3

0

例3(2005年湖南理工高考)集合A={x|}，B={x||x－b|a}，假设“a=1”是“A∩B=φ”的充分条件，那么b的取值范围可以是()

.A．－2≤b0．B．0b≤2。C．－3b－1D．－1≤b2

解：集合A={x|}={x|－1x1}，当“a=1“时B={x||x－b|1}={x|－1+bx1+b}

－

－1

－1

1

1+b

－1+b

1+b

－1+b

－1

1

以上两个图都A∩B=φ，因为“a=1”是“A∩B=φ”的充分条件，由图可得－1≤b2，应选D。

性质法

在解集合问题时，用常用性质求解，往往快捷迅速，如CA∪CB=C(A∩B)，CA∩CB=C(A∪B)，φ∩A=φ,φ∪A=A，φA，集合A中有n个元素其子集个数为2，真子集个数为2－1等。

例4(2000年春季高考)设全集U={a，b，c，d，e}，集合A={a，c，d}，B={b，d，e}，那么CA∩CB=〔〕。

A．φB．{d}C．{a，c}D．{b，c}

解：CA∩CB=C(A∪B)=CU=φ，应选A.

例5(1994年全国高考)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，那么CA∪CB=()

A．{0}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}

解：因为A∩B={2，3}，CA∪CB=C(A∩B)={0，1，4}应选C.

例6(2005年天津文史高考)集合A={x|0≤x3且x∈N}的真子集个数为()

A．16B．8C．7D．4

解：集合A={0，1，2}共3个元素，其真子集个数为2－1。应选C.

列举法

对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，然后从中寻找解题方法。

例7(1993年全国高考)集合A={x|x=+,k∈Z}，B={x|x=+k∈Z}那么有()

A．A=BB．ABC．ABD．A∩B=φ

解：分别取k=···－2，－1，0，1，2···得A={···－，，，，···}，B={···，，，π，，，···}

易得AB应选C.

例8(1996年全国高考)，全集U=N，集合A={x|x=2n，n∈N},集合B={x|x=4n，n∈N}，那么()

A．U=A∪BB．U=CA∪BC．A∪CBD．CA∪CB

解：用列举法有：集合A={2，4，6，8，···}；集合B={4，8，12，16···}

所以CB={1，2，3，5，6，7，9···}，于是有U=A∪CB，应选C.