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（创新管理）(创新设计年

高考数学(人教A版理)一

轮复习配套

第4讲平面向量应用举例[必威体育精装版考纲]

1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2．会用向量方法解决简单的力学问题和其他壹些实际问题.知识梳理

1．向量于平面几何中的应用

向量于平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)

?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a·b＝0?(a，b均为非零向量)．

(3)求夹角问题，利用夹角公式

cosθ＝(θ为a和b的夹角)．

2．向量于三角函数中的应用

和三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，仍应掌握三角恒等变换的关联知识．

3．向量于解析几何中的应用

向量于解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的壹种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的关联知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

4．向量于物理中的应用

物理学中的力、速度、位移均是矢量，它们的分解、合成和向量的加减法相似，因此能够用向量的知识来解决某些物理问题.

学生用书?第76页

辨析感悟

1．向量和其他数学知识的交汇

(1)已知△ABC中，BC边最长，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC的形状为钝

角三角形．(×)

(2)于四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是矩形．(×)

(3)(2014·贵州调研改编)于平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)和动点P(x，

y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.(√)

2．平面向量于物理中的应用

(4)作用于同壹点的俩个力F1和F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2

大小为\19.(√)

22

(5)已知壹物体于共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为2.(√)

[感悟·提升]

1．壹个手段

实现平面向量和三角函数、平面向量和解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．

2．俩条主线

(1)向量兼具代数的抽象和严谨和几何的直观和形象，向量本身是壹个数形结合的产物，于利用向量解决问题时，要注意数和形的结合、代数和几何的结合、形象思维和逻辑思维的结合．

(2)要注意变换思维方式，能从不同角度见问题，要善于应用向量的有关性质解题.

考点壹向量于平面几何中的应用

【例1】(1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，

则AE·BD＝.

(2)(2013·天津卷)于平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中

点．若·＝1，则AB的长为．

审题路线(1)法壹：把向量和分别用基底，表示．法二：建立平面直角坐标系?求向量，的坐标．

(2)把向量和分别用基底，表示?利用·＝1整理?建立关于||的壹元二次方程?解得||.

解析(1)法壹·＝(＋)·(－)＝2－2＝22－×22＝2.

法二以A为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)．

∴＝(1,2)，＝(－2,2)．

从而·＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.

(2)由题意可知，＝＋，因为·＝1，所以(＋

即2＋1－12

即2＋1－12＝1.①

因为||＝1，∠BAD＝60°,所以·＝1||，

2

因此①式可化为1＋1||－1||2＝1，解得||＝0(舍去)或1，所以AB的长为

422

1

.

2

答案(1)2(2)1

2

规律方法用平面向量解决平面几何问题时，有俩种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时壹般利用已知的垂直关系，或使较多的点落于坐标轴上，这样便于迅速解题.

【训练1】(1)(2014·杭州质检)于边长为1的菱形ABCD中，