2025版高考数学二轮复习专项训练21 计数原理与概率（解析版）.docx

2025二轮复习专项训练21

计数原理与概率

[考情分析]1.高考中主要考查两个计数原理、排列与组合的应用，对二项式定理的考查以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，常以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏下.2.高考中对此概率内容多以实际材料为背景，主要考查随机事件的概率及古典概型、条件概率的计算，也考查概率与统计的综合应用，选择题、填空题或解答题中均有出现，难度中等偏下．

【练前疑难讲解】

一、排列与组合问题

1．两个计数原理

(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

2．解排列组合问题要遵循两个原则：

一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

二、二项式定理

1．二项式定理的常用结论

(1)(a－b)n＝Ceq\o\al(0,n)an－Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)bn.

(2)(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn.

2．求解二项式有关问题时，一定要注意“二项式系数”与“项的系数”之间的区别与联系．

三、概率

1．古典概型的概率公式

P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的样本点,试验的样本点总数).

2．条件概率

在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?).

3．相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．

4．若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．

5．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)·P(B|Ai)．

一、单选题

1．（22-23高三下·湖北·阶段练习）甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高三上·河北·期末）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（????）

A． B． C． D．

3．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（????）

A．24 B．25 C．48 D．49

4．（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（????）

A． B．240 C．60 D．

二、多选题

5．（2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（????）

A． B．

C． D．

6．（23-24高三上·湖北·阶段练习）投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p，记表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（????）

A．与是互斥事件 B．

C． D．

三、填空题

7．（21-22高三上·山东·开学考试）设，则除以9所得的余数为．

8．（2024·广东江苏·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

答案

B

B

D

B

ABD

ACD

1．B

【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再