2025版高考数学二轮复习专项训练22 随机变量及其分布（解析版）.docx

2025二轮复习专项训练22

随机变量及其分布

[考情分析]高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上．

【练前疑难讲解】

一、分布列的性质及应用

1．离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

离散型随机变量X的分布列具有两个性质：

(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；

(2)eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1(i＝1,2,3，…，n)．

2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi；

D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi.

3．均值、方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．

(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

(3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

二、随机变量的分布列

1．n重伯努利试验与二项分布

X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

2．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，

m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．

三、正态分布

正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．

(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).

(3)曲线与x轴之间的区域的面积总为1.

(4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．

(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

一、单选题

1．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（????）

A． B． C．1 D．2

2．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（????）[参考数据：]

A．141 B．128 C．288 D．512

二、多选题

3．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（????）

A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种

B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为

C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为

D．抽出的产品中次品数的数学期望为

4．（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（????）

A．若，，则甲最终获胜的概率为

B．若，，记决赛进行了局，则

C．若，，记决赛进行了局，则

D．若比时对甲更有利，则

三、填空题

5．（2023·山东·模拟预测）已知随机变量，其中，随机变量的分布列为

0

1

2

表中，则的最大值为．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时，．

6．（2024·全国·模拟预测）已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则.

四、解答题

7．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；

(2)实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.2??18.8??20.2??21.3??22.5??23.2??25.8??26.5??27.5??30.1

32.6??34.