2025版高考数学二轮复习专项训练25 圆锥曲线的方程与性质（解析版）.docx

2025二轮复习专项训练25

圆锥曲线的方程与性质

[考情分析]圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题第一问的形式命题，题目常为中档难度．

【练前疑难讲解】

一、圆锥曲线的定义与标准方程

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)．

(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a|F1F2|)．

(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．

温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．

2．圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)(焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)(焦点在y轴上)．

(2)双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)(焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)(焦点在y轴上)．

(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p0)．

二、椭圆、双曲线的性质

椭圆、双曲线的性质

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).

②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)．

②双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．

三、抛物线的性质

抛物线的焦点坐标与准线方程

(1)抛物线y2＝2px(p0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq\f(p,2).

(2)抛物线x2＝2py(p0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程y＝－eq\f(p,2).

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（????）

A． B． C．2 D．

二、多选题

3．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（????）

A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值

B．当时，

C．有且仅有4个点，使得为直角三角形

D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为

4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（????）

A．

B．若，则

C．设到直线的距离分别为，则

D．若直线的斜率分别为，则

三、填空题

5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．

6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l．若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为；若过C的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则．

参考答案：

题号

1

2

3

4

答案

B

D

ABD

BD

1．B

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出OP的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．

【详解】方法一：设，所以，

由，解得：，

由椭圆方程可知，，

所以，，解得：，

即，因此．

故选：B．

方法二：因为①，，

即②，联立①②，

解得：，

而，所以，

即．

故选：B．

方法三：因为①，，

即②，联立①②，解得：，

由中线定理可知，，易知，解得：．

故选：B．

【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定