湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，则（????）

A． B．

C． D．

2．已知复数z满足4且，则的值为

A．﹣1 B．﹣22019 C．1 D．22019

3．在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（????）

A． B． C． D．

4．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（????）（参考数据：取）

A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天

5．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（???）

A． B． C． D．

6．已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（????）

A．

B．

C．

D．

7．已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（????）

A．1 B． C． D．

8．已知函数，，若成立，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（????）

A． B．

C．在区间上单调递减 D．直线是曲线的切线

10．已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（）

A．数列的第项小于 B．数列不可能是等比数列

C．数列为递增数列 D．数列中存在大于的项

11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（????）

A．若平面是面积为的等边三角形，则

B．若，则

C．若，则球面的体积

D．若平面为直角三角形，且，则

三、填空题

12．甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为.

13．展开式中的常数项是120，则实数．

14．正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为.

四、解答题

15．若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围

16．已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，

(1)求；

(2)设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．

17．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．

(1)求证：平面；

(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．

18．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：

不太了解

比较了解

合计

男生

20

40

60

女生

20

20

40

合计

40

60

100

(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；

(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.

附：①，其中；

②当时有95%的把握认为两变量有关联.

19．已知函数.

(1)证明：；

(2)设，求证：对任意的，都有成立.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

D

C

B

D

D

A

BD

BCD

题号

11

答案

BC

1．D

【分析】先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．

【详解】因为，所以，解得，

因为，所以，解得，

所以，，

故．

故选：D．

2．D

【解析】首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z4和z|z|0得出方程组，求解