广东省五校2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题.docx

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广东省五校2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，则（????）

A． B． C． D．

2．椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（????）

A．4 B．3 C．5 D．7

3．已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（????）

A． B． C． D．

4．若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（????）

A． B．

C． D．

5．圆与圆的公切条数为（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

6．如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（????）

??

A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m

7．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

8．已知点为椭圆上任意一点，直线过圆的圆心且与圆交于两点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知直线，（????）

A．当时，直线的倾斜角为

B．当时，

C．若，则或

D．直线始终过定点

10．已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（???）

A．点在圆C外

B．直线l与圆C相离

C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是

D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为

11．在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（???）

A．

B．该三棱柱的体积为4

C．过，，三点截该三棱柱的截面面积为

D．直线与平面所成角的正切值的最大值为

三、填空题

12．三条直线与相交于一点，则的值为.

13．已知空间中的三点，则点到直线的距离为．

14．已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为.

四、解答题

15．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的标准方程；

(2)求过点且与曲线相切的直线的方程.

16．如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.

17．已知双曲线C:x2a

(1)求的方程；

(2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.

18．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的大小；

(3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

19．已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为.

①证明：直线l过定点；

②求面积的最大值.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

B

C

B

A

A

C

BD

BCD

题号

11

答案

ABD

1．C

【分析】利用空间向量的坐标运算求模即可.

【详解】由，

故选：C.

2．D

【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果.

【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而，

所以.

故选：D

3．B

【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程.

【详解】的中点坐标为，

所以边上的中线所在直线的方程为，

整理得.

故选：B

4．C

【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可.

【详解】如图，过点C作CD⊥AB于D，依题意，因为故|CD|=3，

从而，圆的半径为故所求圆的方程为

即

故选：C

5．B

【分析】根据圆与圆的位置关系来确定正确答案.

【详解】的圆心是，半径，

即，圆心为，半径，

，，

所以两圆相交，公切线有条.

故选：B

6．A

【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，进而求得正确答案.

【详解】以拱顶为坐标