(寒假)人教版数学八年级寒假讲义07 勾股定理综合问题+随堂检测（教师版）.docVIP

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07勾股定理综合问题

考向一勾股定理与弦图问题

【例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（????）

A．13 B．10 C．15 D．9

【答案】D

【分析】根据小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可．

【详解】因为小正方形的面积=129?12ab×4=129?48=81

【点睛】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键．

【例2】如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(xy)，下列三个结论：①x

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

【答案】A

【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．

【详解】解：∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理得：x2

由图可知，x?y=EF，即为小正方形的边长，∵正方形EFGH的面积为1∴EF=1，∴x?y=1，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，即4×1

∴xy=12，故③正确．∵x+y2=x2+

∴正确结论有①②③．故选：A．

【变式1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（????）

A．52 B．68 C．72 D．76

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后利用外围周长=4×(BD+AD)即可求解．

【详解】

由题意可知CD=2AC=12∵∠BCD=90°,BC=5∴BD=C

∴风车的外围周长是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76故选：D．

【变式2】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2

【答案】49

【分析】根据题意和图形，可以得到a2+b2=c2，c2=25，a?b2=1然后变形即可得到ab

【详解】解：由图可得，a2+b2=

∵小正方形的面积是1，∴a?b2=1，∴a2

∴(a+b)2=a2+2ab+b

【变式3】我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：

(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；

(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD

(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2

【答案】(1)见解析；(2)CD=125

【分析】（1）分别用两种方法求出大正方形的面积，根据面积相等列等式，即可证明；

（2）先根据勾股定理求出AB，再根据等面积法即可求解；

（3）根据（1）的结果，可得c2=a2+

【详解】（1）∵S大正方形=c2，

又∵S大正方形

∴c2=2ab+b?a

（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，

∵S△ABC=12×AC×BC=6

∵AB=5，∴CD=6×2

（3）根据（1）有：S大正方形=c2，

又∵S大正方形=c

∴c2=a

∴a2

∴a+b2

考向二勾股定理与网格问题

【例1】如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（????????）

A．31010 B．2105 C．

【答案】D

【分析】连接AC、BC，利用割补法求出S△ABC=4，根据勾股定理求出AB=10，设C点到AB的距离为h，根据S

【详解】解：如图，连接AC、BC，

S△ABC=3×3?1

设C点到AB的距离为h，∵S△ABC=1

【变式1】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（????）

A．3?1 B．3?5 C．5

【答案】B

【分析】如图，连接AD，利