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5.1.2弧度制
学习目标
1.借助圆建立弧度制的概念，培养数学抽象、直观想象的核心素养.
2.应用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
1.角的单位制及换算关系
(1)角的单位制
①角度制
规定周角的1360为1度的角，用度
②弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度.
③角的弧度数的求法
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么|α|=lr
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度与弧度的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°=2πrad
2πrad=360°
180°=πrad
πrad=180°
1°=π180
1rad=(180π)°≈57.30
度数×π180
弧度数×(180π)°
(3)一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
弧度
0
π
π
π
π
2π
度
135°
150°
180°
270°
360°
—
弧度
3π
5π
π
3π
2π
—
2.弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
度量制
公式
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l=n
S=n
弧度制
l=α·R
(0α2π)
S=12lR=12
(0α2π)
角度与弧度的换算
[例1]将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-800°;(3)7π12;(4)-11π
解:(1)20°=20×π180rad=π
(2)-800°=-800×π180rad=-40π
(3)7π12rad=712×180°=105
(4)-11π5rad=-115×180°=-396
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad=180°是关键，由它可以得到:度数×π180=弧度数，弧度数×(180π)
提醒:用弧度表示角，涉及π时，直接保留π，不要将π写成小数.
针对训练1:将下列角度与弧度进行互化.
(1)511π6;(2)-5π12;(3)10°;(4)-855
解:(1)511π6rad=5116×180°=15330
(2)-5π12rad=-512×180°=-75
(3)10°=10×π180=π
(4)-855°=-855×π180=-19π
弧度制的综合应用
[例2]在平面直角坐标系中，α=-2π3，β的终边与α的终边分别有如下关系时，
(1)若α，β的终边关于x轴对称;
(2)若α，β的终边关于y轴对称;
(3)若α，β的终边关于原点对称.
解:如图，在平面直角坐标系中，α=-2π3
(1)若α，β的终边关于x轴对称，则{β|β=2π3+2kπ，
(2)若α，β的终边关于y轴对称，则{β|β=-π3+2kπ，
(3)若α，β的终边关于原点对称，则{β|β=π3+2kπ，
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α=2kπ+30°，k∈Z是不正确的写法.
针对训练2:若角β的终边落在直线y=-33x上，写出角β的集合;当β∈(-2π，2π)时，
解:终边落在直线y=-33x上的角β组成的集合A={β|β=kπ+5π6
因为β∈(-2π，2π)，则当k=-2，-1，0，1时，符合题意，
所以β=-7π6，-π6，5π6
扇形的弧长公式和面积公式的应用
[例3]扇形AOB的面积是4cm2，它的周长是10cm，求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB的长.
解:设扇形弧长为lcm，半径为rcm，
则由题意知l+2r=10,
当r=1，l=8时，
α=lr=82π(舍去)
所以r=4，l=2，
此时α=lr=1
如图可知AB=2·r·sinα2=2×4×sin1
8sin14
扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π);其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意
(1)看清角的度量制，选用相应的公式;
(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
针对训练3:已知扇形AOB的周长为10cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长.
解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
由l+2r=10
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