(寒假)人教版数学八年级寒假讲义11 菱形的性质与判定+随堂检测（教师版）.docVIP

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12菱形的性质和判定

知识点一

知识点一

菱形的定义

●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

◆1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.

◆2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.

知识点二

知识点二

菱形的性质

◆1、菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质.

②菱形的四条边都相等.

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.

性质定理应用格式：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；

◆2、菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式=底×高．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）

③四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；

知识点三菱形的判定

知识点三

菱形的判定

●●菱形的判定方法：

◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

定理1应用格式：

∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形.

◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.

定理2应用格式：

∵AB=BC=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.

【要点解析】

（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；

（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.

②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.

（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；

②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.

题型一利用菱形的性质求角度

题型一利用菱形的性质求角度

【例题1】如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（）

A．40° B．30° C．20° D．15°

【分析】直接利用菱形的性质可得∠BCD的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA，

∵∠ADC＝140°，∴∠BCD＝40°，∴∠BCA＝∠DCA=12∠

解题技巧提炼

在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答.

【变式1-1】如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】根据菱形的性质，可得△ABC是等边三角形，进一步可得∠ADC＝60°，根据菱形的性质可得∠ADB的度数．

【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，

∴∠ADB＝30°，故选：A．

【变式1-2】如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为．

【分析】证明△ACD是等边三角形，则∠D＝60°，即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD=404=10（cm），AB∥CD，∴∠D+∠

又∵AC＝10cm，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DAB＝120°，

故答案为：60°，120°．

【变式1-3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，

∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，

∴OH＝OD＝OB，∴∠