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有理数计算的常用方法

关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．

一、凑整法

例1计算：

2002＋98＋997＋9996＋99995．

分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．

解1原式

＝(2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5)

＝1988＋100＋1000＋10000＋100000

＝113088．

例2若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．

分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……

解原式

＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋…＋2)

＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)

＝987654320－44

＝987654276．

∴S的末四位数字之和是

4＋2＋7＋6＝19．

二、分组结合法

例3计算：

1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．

分析题中从1到2011，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．

解原式

＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(2009－2011)

＝（－2）×503

＝－1006．

例4计算：

1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．

分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．

解1原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．

本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．

解2原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．

三、分解相约法

例5计算：

(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．

分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．

解原式＝

＝．

四、巧用运算律法

例6计算：．

分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计

算．

解原式

五、妙用性质法

例7计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．

分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．

解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011

＝(1×3×4×…×2011)÷(2×3×4×…×2010)

＝2011÷2

＝1005.5．

六、添项相加法

例8计算：

512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．

分析经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l（末项），使问题得以顺利解决．

解原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1)－1

＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1

＝…

＝512＋(256＋256)－1

＝512＋512－1＝1023