2025版高考数学二轮复习专项训练12 三角函数的概念与三角恒等变换（解析版）.docx

2025二轮复习专项训练12

三角函数的概念与三角恒等变换

[考情分析]三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现．

【练前疑难讲解】

一、三角函数的定义、诱导公式及基本关系式

1．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

2．(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.

3．诱导公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

二、两角和与差的三角函数

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；

cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).

三、三角恒等变换

1．二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

2．半角公式：sin?eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，cos?eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，tan?eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).

3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数y=fx的图像的两条相邻对称轴，则（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知，，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2022·广东·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．f（x）的最大值为2

B．f（x）在上单调递增

C．f（x）在上有4个零点

D．把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称

4．（2023·广东深圳·模拟预测）若函数，则下列结论正确的是（????）

A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增

C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称

三、填空题

5．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则.

6．（22-23高三下·湖北孝感·阶段练习）若两个锐角，满足，则.

参考答案：

题号

1

2

3

4

答案

D

D

ACD

BCD

1．D

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.

【详解】因为在区间单调递增，

所以，且，则，，

当时，取得最小值，则，，

则，，不妨取，则，

则，

故选：D.

2．D

【分析】

先对两式进行平方，进而可求出的值，根据二倍角公式求出结论.

【详解】解：因为，，

所以平方得，，，

即，，

两式相加可得，

即，

故，

.

故选：D.

3．ACD

【分析】先对函数化简变形得，然后利用余弦函数的性质逐个分析判断即可

【详解】因为，所以A正确；

当时，，函数在上先增后减，无单调性，故B不正确；

令，得，故，因为，所以，故C正确；

把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时．取得最小值－2，故D正确．

故选：ACD

4．BCD

【分析】利用三角恒等变换、诱导公式化简得，根据正弦型函数的性质判断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、D.

【详解】由，

所以最小正周期为，A错误；

当，则，故在上递增，B正确；

由，故是的一条对称轴，C正确；

由，故是的一个对称点，D正确.

故选：BCD

5．/

【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.

【详解】由题意得，，则或，

又，即，解得或（舍去），

则，

所以

.

故答案为：.

6．

【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入即可求解.

【详解】因为，

所以

所以，

因为，为锐角，所以有，

所以，即，

所以，即，

因为，为锐角，所以有，即，

所以

故答案为：

【基础保分训练】

一、单选题

1．（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件