2025版高考数学二轮复习专项训练13 三角函数的图象与性质（解析版）.docx

2025二轮复习专项训练13

三角函数的图象与性质

[考情分析]高考必考内容，重点考查三角函数的图象与性质及三角函数图象变换的正用、逆用，多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等．

【练前疑难讲解】

一、三角函数的图象及变换

图象变换

(先平移后伸缩)

y＝sinxeq\o(―――――――――→,\s\up7(向左?φ0?或向右?φ0?),\s\do5(平移|φ|个单位长度))

y＝sin(x＋φ)eq\o(――――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω0)倍),\s\do8(纵坐标不变))

y＝sin(ωx＋φ)eq\o(―――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的A?A0?倍),\s\do5(横坐标不变))

y＝Asin(ωx＋φ)．

(先伸缩后平移)

y＝sinxeq\o(――――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω0)倍),\s\do8(纵坐标不变))

y＝sinωxeq\o(――――――――→,\s\up7(向左?φ0?或右?φ0?),\s\do7(平移\f(|φ|,ω)个单位长度))

y＝sin(ωx＋φ)eq\o(―――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的A?A0?倍),\s\do5(横坐标不变))

y＝Asin(ωx＋φ)．

二、三角函数的解析式

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，

则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).

(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝eq\f(2π,T).

(3)求φ，常用的方法有：五点法、特殊点法．

三、三角函数的性质

三角函数的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得．

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·云南曲靖·一模）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（????）

A．

B．函数的最小正周期是

C．函数的图象关于直线对称

D．将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称

4．（2023·广东肇庆·二模）函数的部分图像如图所示，，则下列选项中正确的有（????）

A．的最小正周期为

B．是奇函数

C．的单调递增区间为

D．，其中为的导函数

三、填空题

5．（2023·内蒙古包头·一模）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为．

6．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为.

参考答案：

题号

1

2

3

4

答案

C

A

AC

AD

1．C

【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.

【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，

而显然过与两点，

作出与的部分大致图像如下，

??

考虑，即处与的大小关系，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

所以由图可知，与的交点个数为.

故选：C.

2．A

【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.

【详解】因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

3．AC

【分析】利用图象求出函数的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周期性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.

【详解】由图可知，，

函数的最小正周期满足，则，，B错；

所以，，

，可得，

因为，所以，，则，可得，

所以，，则，A对；

，

所以，函数