2024高考数学大一轮复习高考大题专项练六高考中的概率与统计理新人教A版.docxVIP

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高考大题专项练六高考中的概率与统计

高考大题专项练第12页?

1.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,其次组工人用其次种生产方式.依据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

超过m

不超过m

第一种生产方式

其次种生产方式

(3)依据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:K2=n(

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

解:(1)其次种生产方式的效率更高.

理由如下:

①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用其次种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此其次种生产方式的效率更高.

②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此其次种生产方式的效率更高.

③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此其次种生产方式的效率更高.

④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此其次种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由,考生答出其中随意一种或其他合理理由均可.

(2)由茎叶图知m=79+812=80

列联表如下:

超过m

不超过m

第一种生产方式

15

5

其次种生产方式

5

15

(3)因为K2=40×(15×15-5

2.(2024全国Ⅱ,理18)11分制乒乓球竞赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局竞赛结束.甲、乙两位同学进行单打竞赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局竞赛结束.

(1)求P(X=2);

(2)求事务“X=4且甲获胜”的概率.

(1)证明X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局竞赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.

(2)解X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局竞赛结束,且这4个球的得分状况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.

3.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠足够,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;

②设A为事务“抽取的3人中,既有睡眠足够的员工,也有睡眠不足的员工”,求事务A发生的概率.

解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人.

(2)①随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.

P(X=k)=C4k·C

所以,随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

P

1

12

18

4

随机变量X的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3

②设事务B为“抽取的3人中,睡眠足够的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事务C为“抽取的3人中,睡眠足够的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67

所以,事务A发生的概率为67

4.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要