1.2.1 圆的标准方程 （教学设计）-高中数学北师大版（2019）选择性必修第一册.docx

教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

秋季

课题

圆的标准方程

教科书

书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册

出版社：北京师范大学出版社

教学目标

类比直线的方程的推导过程来推导圆的标准方程，并再次经历推导曲线的方程的六个步骤，培养学生的数学抽象和数学建模能力。

会用圆的标准方程再认识点与圆的位置关系，加深学生对形转化为数的理解。

3.学会从几何和代数两个角度认识圆，并会用数形结合法和待定系数法求圆的标准方程，增强学生的直观想象、提高学生的运算水平。

教学内容

教学重点：

1.在推导圆的标准方程过程中，如何引导学生把“描述性”的圆抽象为“符号化”的圆，进而转化成“代数化”的圆是本节课的重点之一。

2.引导学生从几何和代数两个角度来分析圆的要素，并求得圆的标准方程是本节课重点之二。

教学难点：

1.如何自然而然地、合乎情理地将“几何”中的圆转化为“代数”中的圆是本节课设计上的一个难点。

2.对大多数学生而言，在解二元二次方程组时，存在运算上的困难，所以用待定系数法求圆的标准方程是学生的一个难点。

教学过程

知识回顾

在上一节课中，我们又重新学习了直线。我们通过在平面直角坐标系中，建立了直线上的点与方程的解一一对应的关系，从而得到了直线的方程，实现了用代数运算来解决直线的位置关系和距离关系等几何问题。

问题提出

圆是平面内的基本图形，也是最美的图形。我们将类比研究直线方程的过程，来探究圆的方程，从而为后续研究圆的位置关系等几何问题做好铺垫。

问题1：圆是如何定义的？

1.墨子说：“圆，一中同长也。”

2.在初中的平面几何中，我们知道圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合（或轨迹），其中定点是圆心，定长就是半径。

3.若记圆心为点C，半径为r，圆上任意一点为P，则圆是集合PPC

显然，圆是由圆心和半径唯一确定。其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

分析理解

类比直线有方程与之对应，那么圆是否也有方程与之对应呢？

问题2：建立平面直角坐标系，如图1-24.设圆的圆心为，半径为，下面来求圆上任意一点的横、纵坐标所满足的关系式。

解：设圆上任一点，由定义得，

由两点间的距离公式得，

将上式两边平方得。①

追问：反过来，以方程①的解为坐标点一定在圆C上吗？

接下来，我们证明如下：设以方程①的任意解为坐标的点记为点，

因为是方程①的解，代入方程①可得：

等式两边同时开方得：

所以即点在圆C上。

综上所述，以C为圆心，r为半径的圆与方程①是一一对应的。故我们称方程①为圆的标准方程。

所以，圆的标准方程推导过程概括为以下六个步骤：

建系→设点→几何关系→代数关系→化简→检验

接下来，我们初步地认识一下圆的标准方程：

1.方程①中的三个参数恰与圆心的坐标和半径长一一对应。

2.当圆心在原点时，圆的标准方程为.

例1判断下列方程是圆的方程吗？若是，请写出圆的圆心和半径；若不是，请说明理由。

（1）；（2）

解：（1）是圆.圆心为,半径为.

（2）当时,是圆.圆心为,半径为.

当时,不是圆,而是一个点.

思考交流1：对于点和圆，由圆的标准方程的概念，可知点在圆上的充要条件是

当点不在圆上时，一定有，此时，存在以下两种情况：或

而点不在圆上时，恰好也有两种情况：点在圆内或点在圆外.那么，“两个不等式”和“点与圆的这两种位置关系”之间存在怎样的联系呢？

解：∵点在圆外.

反之，也成立.

即点在圆外

同理：点在圆内

一般地,圆的标准方程为,圆心,半径为.设所给点为,则

位置关系

判断方法

几何法

代数法

点在圆上

点在圆内

点在圆外

例2.已知两点和.

（1）求以点为圆心，且经过点的圆的方程；

（2）求以为直径的圆的方程.

（1）我们从几何角度分析：

因为圆心为点A，半径长等于AB，所以圆唯一确定。

从代数角度分析：

因为，所以圆的标准方程唯一确定。

解答过程略。

（2）从几何角度分析；

因为圆心为AB的中点，半径长等于，所以圆唯一确定。

从代数角度分析：

因为，所以圆的标准方程唯一确定。

解答过程略。

思考交流2：

思考1：已知圆经过点，半径为，则该圆确定吗？若不确定，那么圆心的位置又有怎样的特点？

从几何角度分析：

由题意可知，圆心未知,半径等于，故圆的位置不确定，而大小是确定的。

从代数角度分析：

就是参数a,b,r是否存在唯一值。

设圆的标准方程为

将点和代入圆的标准方程中得：

因为此方程有无数组解，所以值不唯一，

故圆不确定。

又将方程①整理为

此方程表示以为圆心，为半径的圆。

故圆心C的轨迹是一个圆，请观看动画1.

思考2：已知圆经过