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二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题

教学目标：

1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解

答图形的面积。

2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积

问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从

而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得

出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。

教学重点和难点：

1.运用公式S=水平宽×铅垂高/2；

2.运用二次函数解析式；

3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的

总面积。

教学过程：

类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行

例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，

5），求：

1）抛物线解析式；

2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；

3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、

△OCE。

解题思路：求出函数解析式y=ax²+bx+c；写出下列点的

坐标：A(x1.0)；B(x2.0)；C(0.c)；求出下列线段的长：

AO=BO=|c|；AB=|x1-x2|；OC=|c|。求出下列图形的面积

△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；

2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法

求出图形的面积。

变式训练1.如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与

x轴相交于两点A(x1,0)，B(x2,0)(x1x2)，与y轴负半轴相交

于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、B两点间的距离

为4，且△ABC的面积为6.

1）求点A和B的坐标；

2）求此抛物线的解析式；

3）求四边形ACPB的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅

垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）

关于S=水平宽×铅垂高/2的知识点：如图1，过△ABC的

三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之

间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC

内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。我们可得出一种计

算三角形面积的新方法：S=水平宽×铅垂高/2.

差值是正数，同学们可以用在水平线上靠右点的横坐标减

去靠左点的横坐标；

③在解题过程中，需要注意线段长度的非负性，以及动点

P在直线AB的上方还是下方；

④在变式训练2中，需要求出点B的坐标，并且通过A、

O、B三点求出抛物线的解析式。同时，需要判断是否存在点

C，使得△BOC的周长最小，如果存在，需要求出点C的坐

标。在判断是否存在最大面积△PAB时，需要注意P点是否

在x轴下方；

⑤在变式训练3中，需要求出抛物线的解析式，并判断是

否存在点Q，使得△QAC的周长最小。同时，需要判断是否

存在点P，使得△PBC的面积最大。在判断最大面积时，需要

注意P点是否在第二象限上。

差值可以通过将右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标得到

正数。因此，要求水平宽度，需要知道点A和点B的坐标。

在解决存在性问题时，通常先假设所需的点存在，然后根

据给定的条件认真推理和解决。

自主练】

1.已知矩形OABC的长OA为3，宽OC为1，将△AOC

沿AC翻折得到△APC。

1)填空：∠PCB=60度，P点坐标为（-1，1/2）；

2)若点P和点A在抛物线y=-(4/2)x+bx+c上，求b和c的

值，并说明点C在此抛物线上；

3)在（2）中的抛物线CP段（不包括C和P点）上，是

否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？如果存在，

请给出最大值和