2024—2025学年北京市清华大学附属中学高二上学期期中数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市清华大学附属中学高二上学期期中数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合，，则集合可以是（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★)3.设命题，，则为（）

A．，

B．，

C．，

D．，

(★★)4.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，，是不同的两条直线，且α，β，∥，那么下列命题正确的是（）

A．l与，都不相交

B．l与，都相交

C．l恰与，中的一条相交

D．l至少与，中的一条相交

(★★)7.设为实数，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)8.已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：

；；

；．

其中是“互垂点集”的集合为

A．,

B．,

C．,

D．,

(★★★)9.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（）

A．三棱锥的体积大小不确定

B．当时，

C．直线平面

D．直线与平面所成角的正弦值为

(★★★)10.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③.如图2，在长方体中中，，，则下列说法中错误的是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

(★★)11.在等差数列中，，，则数列的前4项的和为__________.

(★★)12.已知非零向量，满足，则______.

(★★★)13.在中，，，点在边上，，，则（1）__________；（2）的面积为__________.

(★★★)14.将函数图象向右平移个单位长度，得到函数图象，则__________.

(★★★★)15.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中，下列结论：

①三棱锥的体积最大值为；

②三棱锥的外接球体积不变；

③异面直线与所成角的最大值为；

④与平面所成角的余弦值最小值为.

所有正确的命题的序号是__________.

三、解答题

(★★★)16.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，，求边及的面积.

(★★★)17.如图，三棱柱中，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点.

(★★★)18.图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了500张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：

识别结果真实性别

可以识别

无法识别

男

女

男

180

15

5

女

20

275

5

该程序对每张照片的识别都是独立的.

(1)现从这500张人脸照片中随机抽取，

①若抽取一张，求识别结果正确的概率；

②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的概率；

(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：

方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；

方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；

方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为50%）.

现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（假设用频率估计概率，结论不要求证明）

(★★★)