八年级数学上册17.5反证法谈谈斯坦纳—雷姆斯定理素材冀教版(2021年整理).doc

八年级数学上册17.5反证法谈谈斯坦纳—雷姆斯定理素材（新版）冀教版

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谈谈斯坦纳-—雷姆斯定理

1840年，雷姆斯(C。Lehmus）向著名几何大师瑞士人斯坦纳（J.Steiner）提出了一个看起来十分简单的几何问题，要求给以证明。问题是：

命题三角形两个底角平分线相等便是等腰三角形。

斯氏答应研究它，但他直到1844年才发表定理的征明。后来该命题就以斯坦纳—雷姆斯定理而闻名于世。150多年来，经常有论述它的文章发表。笔者见过斯—雷定理的证明30余种,比较而言，觉得还是以斯氏原证为佳。

问题在△ABC中，∠B、∠C的平分线分别为BD，CE,且BD=CE。求证：AB=AC.

斯坦纳原证如图1，假设AB＞AC。

则∠B＜∠C，从而∠BEC＞∠BDC（1)

在△BCE与△CBD中,

∵BD=CE，

BC公共，∠BCE＞∠CBD，

∴BE＞CD。

作平行四边形BDCF,连接EF。

∵BE＞CD=BF。∴∠1＜∠2.

∵CE=BD=CF。∴∠3=∠4。

∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC（2）

（1）与（2）矛盾.∴AB≯AC。

同理AC≯AB。故AB=AC.

之所以说斯氏原证好，是因为它不仅简洁优美，而且另一些证明三角形等腰的问题也可仿照斯氏原证证明.请同学们看以下三例.

例1如图2，在△ABC中，AT⊥BC于T，垂足T在BC上，H为垂心，P为HT上任意一点，将BP交AC于D，CP交AB于E,且BD=CE。求证:AB=AC。

证明：假设AB＞AC，则BT＞CT，BP＞CP,∠5＞∠6。在△BCE与△CBD中,

又因CD=BD，BC公共，

∴BE＞CD。

设CH⊥AB于I，BH⊥AC于K.

在Rt△CIE与Rt△BKD中，

∵CE=BD,由AB＞AC，知CI＜BK，

∴∠8＜∠7.

∴∠BEC＞∠BDC(1)

作平行四边形BDCF，连接EF,

∵BE＞CD=BF,∴∠1＜∠2。

∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4.

∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC(2）

(1）与(2)矛盾.∴AB≯AC。

同理AC≯AB.故AB=AC。

例2在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上,AM=AN.D,E分别为NC，MB的中点，且BD=CE。求证：AB=AC。

证明：如图3，假设AB＞AC，则BE＞CD，AE＞AD。

∴sin∠5＞sin∠6。

但0°＜∠6＜90°，

0°＜∠5＜180°,

∴∠5＞∠6。从而∠BEC＞∠BDC（1）

作平行四边形BDCF，连接EF.

∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2

∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4。

∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC。（2）

（1）与（2）矛盾。

∵AB≯AC.

同理AC≯AB。故AB=AC。

例3在△ABC中，点M，N分别在AB,AC上,BM=CN。点D，E分别在AN，AM上,且DE∥MN，BD=CE.求证:AB=AC。

证明:如图4,假设AB＞AC，则AM＞AN。

又DE∥MN，

∴AE＞AD，

EM＞DN,BE＞CD。

∴sin∠5＞sin∠6

但0°＜∠6＜90°。

0°＜∠5＜180°，

∴∠5＞∠6。从而

∠BEC＞∠BDC。（1）

作平行四边形BDCF,连接EF。

∵BE＞CD=BF，

∴∠1＜∠2。

∵CE=BD=CF，

∴∠3=∠4。

∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC。（2）

（1)与(2）矛盾。∴AB≯AC。

同理AC≯AB。故AB=AC.