中考数学专题复习。圆的最值问题模型汇总.pdf

中考数学专题复习。圆的最值问题模型汇

总

圆的最值问题

知识储备

最值问题的必要条件是至少有一个动点。因为这是一个动

态问题，所以才会有最值。在将军饮马问题中，折点P就是

那个必须存在的动点。并且它的运动轨迹是一条直线。解题策

略就是作端点关于折点所在直线的对称即可。

当然，动点的运动轨迹是可以变的。比如P点轨迹也可

以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆。

在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，

也很少把这个圆画出来。因此，结合题目给的条件，分析出动

点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最值的问题就会变

得简单了。比如：如右图，A为圆外一点，在圆上找一点P使

得PA最小。

类型一已知圆轨迹类

典例分析

例1.1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足

OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线L上有两点A、

B，且OA=OB，∠APB=90°，直线L不经过点C，则AB的

最小值为。

例1.2】如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，

点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小

值为（）

练】

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过

点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，

则线段PQ长度的最小值是()。

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D

是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），

过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变

化的过程中，线段EF长度的最小值为()。

3.如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个

动点，且∠ACB＝45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则

线段MN长的最大值为()。

类型二由定义构造辅助圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的

集合。

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则

其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧。

常见题型：折叠问题

确定圆心半径的方法】

①圆心：折痕中的定点。

②半径：与定点（圆心）相连的（定）等长线段。

典例分析

例2.1】在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是

AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所

在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是

多少？

将菱形ABCD旋转60°，使得边AB水平，边BC垂直向

下。此时，菱形可以看作是等边三角形ABC和三角形ABD

的组合。连接AC和BD，并在MN上取一点P，使得AP垂

直于MN。则△APM与△A′PM全等，且A′C=AC-AP=2-

2sin60°=2-sqrt(3)。因此，A′C的最小值为2-sqrt(3)。

例2.2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F

在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF

沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最

小值是多少？

根据翻折后的几何关系，有CE=EP，EF=FC。连接BP，

并延长到交AB于点D。则△BPD与△EFC全等，且BD=BC-

CD=8-6=2.因此，BP=2EF=4，PD=BD-BP=2，所以点P到边

AB的距离为2.

练】

1.在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F

是BC边上的动点，将∠EBF沿EF所在直线折叠得到△EBF，

求BD的最小值。

将正方形ABCD旋转45°，使得边AB与x轴重合。此时，

E的坐标为(2,2)，F的坐标为(4-y,y)，其中y为BF的长度。将

E