(寒假)人教版数学八年级寒假讲义02 二次根式的乘除+随堂检测（原卷版）.docVIP

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02二次根式的乘除

知识点一

知识点一

二次根式的乘法

●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

用字母表示为：a?b=a?b（a≥0，b≥

◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.

◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数，即ma?nb=mnab（a≥0，b≥0）

◆3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.

知识点二

知识点二

积的算术平方根

●●积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，b≥0）

◆1、该性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，其成立的前提条件是：积中的每个因数（式）都必须是非负数，即公式中的a和b必须满足a≥0，b≥0，应用此性质可以化简二次根式.

◆2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.

知识点三

知识点三

二次根式的除法

●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

用字母表示为：ab=ab（a≥

◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．

◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，将根号外因数（式）之商作为根号外因数（式），被开方数之商作为被开方数，即manb=mnab

◆3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．

知识点四

知识点四

商的算术平方根

商的算术平方根性质：ab=ab（a≥0，b＞0）

◆1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.

◆2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可

知识点五

知识点五

最简二次根式

◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

题型一利用二次根式的乘法法则进行计算

题型一利用二次根式的乘法法则进行计算

【例题1】下列计算正确的是（）

A．45×25=85 B．53×42

C．43×22=75 D．53×4

解题技巧提炼

1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方;

2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数.

【变式1-1】计算:22

A．12 B．26 C．62

【变式1-2】计算12

A．16 B．±16 C．4 D．±4

【变式1-3】下列等式中，一定成立的是（）

A．（a）2＝a B．a2=

C．a2+b2=a+b

【变式1-4】计算:

（1）；（2）；

（3）；（4）.

题型二直接运用积的算术平方根的性质化简

题型二直接运用积的算术平方根的性质化简

【例题2】化简下列各题：

27（2）50（3）332

（4）7×112；（5）18y3（y≥0）；（6）16a2b5（

解题技巧提炼

利用积的算术平方根的性质进行化简时要注意三点：

一是公式中的限制条件，若积中的因数（式）不是非负数应先将其化为非负数，再运用公式化简；

二是被开方法数一定是乘积的形式；

三是二次根式中的隐含条件的挖掘.

【变式2-1】下列正确的是（）

A．4+9=2+3 B．4×9=2×3 C．94=32

【变式2-2】给出下面四种解答过程，其中运算正确的是（）

A．(?25)×(?16)=?25×?16=（﹣5）

B．(?25)×(?16)=±25×16=±（5）×

C．(?25)×(?16)=25×16

D．352?2

【变式2-3】若a＜0，b＞0，则化简a2

A．abab B．﹣abb C．abb D．ab2b

【变式2-4】设5=a，6=b，用含a，b的式子表示

A．0