(寒假)人教版数学八年级寒假讲义04 二次根式综合复习+随堂检测（教师版）.docVIP

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二次根式本章知识综合运用

二次根式有关概念

二次根式有关概念

●●1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”称为二次根号，a为被开方数.

●●2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.

●●3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

●●4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．

二次根式的有关性质

二次根式的有关性质

●●1、a的性质：a≥0；a

●●2、（a）2（a≥0）的性质：

（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

●●3、a2的性质：a2=|a|

二次根式的相关运算

二次根式的相关运算

●●1、二次根式的乘除法

二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

用字母表示为：

（1）二次根式的乘法法则：a?b=a?b（a≥0，

（2）积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，

（3）二次根式的除法法则：ab=ab（

（4）商的算术平方根的性质：ab=ab（

●●2、二次根式的加减法

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并.

合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．

●●3、二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．

（2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．

题型一根据二次根式是整数求字母的取值

题型一根据二次根式是整数求字母的取值

【例题1】已知20?n是整数，则自然数n所有可能的值有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】由二次根式的定义即可求出答案．

【解答】解：由于20﹣n≥0，且n≥0，∴0≤n≤20，由于20?n是整数，

∴20﹣n＝0或1或4或9或16，解得：n＝20或19或16或11或4，一共5个．故选：D．

解题技巧提炼

先通过二次根式的定义求出自然数n的范围，再由二次根式的性质确定20﹣n是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数的所有可能取的值.

【变式1-1】若12?n是整数，则满足条件的自然数n的值可以是（写出一个即可）．

【分析】先确定n的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的n即可．

【解答】解：∵12﹣n≥0，∴n≤12，∵12?n是整数，∴当12﹣n＝1时，n＝11．故答案为：11．

【变式1-2】已知24n是整数，求正整数n的最小值．

【分析】根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．

【解答】解：∵24n是整数，n为正整数，∴24n＝144，即n＝6，则正整数n的最小值为6．

【变式1-3】已知18?n是整数，求自然数n所有可能的值；

【分析】根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；

【解答】解：∵18?n是整数，

∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，

则自然数n的值为2，9，14，17，18；

题型二二次根式与绝对值的综合运用

题型二二次根式与绝对值的综合运用

【例题2】已知实数x满足|2017﹣x|+x?2018=x，求x﹣2017

【分析】由绝对值的性质和已知，先求出x的值，再计算20172的值．

【解答】解：∵实数x满足|2017﹣x|+x?2018

∴x﹣2017+x?2018=x．即x?2018=2017．∴x﹣2018＝20172

∴x﹣20172＝20172+2018﹣20172＝2018．

解题技巧提炼

灵活利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简计算是解题的关键.

1、的性质：具有双重非负性，即，即一个非负数的算术平方根是非负数；

2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；

3、，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.

【变式2-1】a2=|

（1）化简：(?3)2=，(3?π)2

（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+(b?c)

【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；

（2）由数轴可得a＜b＜0＜c，从而可得c﹣a＞0，b﹣c＜0