(寒假)人教版数学八年级寒假讲义07 勾股定理综合问题+随堂检测（原卷版）.docVIP

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07勾股定理综合问题

考向一勾股定理与弦图问题

【例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（????）

A．13 B．10 C．15 D．9

【例2】如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(xy)，下列三个结论：①x

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

【变式1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（????）

A．52 B．68 C．72 D．76

【变式2】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2

【变式3】我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：

(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；

(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD

(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2

考向二勾股定理与网格问题

【例1】如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（????????）

A．31010 B．2105 C．

【变式1】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（????）

A．3?1 B．3?5 C．5

【变式2】如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是（????）

A．30° B．45° C．50° D．60°

【变式3】如图，在8×8的方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有_____（填写序号）．

①△ABC的形状是直角三角形；

②△ABC的周长是35

③点B到AC边的距离是2；

④若点D在格点上（不与A重合），且满足S△BCD=S

考向三勾股定理的应用

【例1】如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（）

A．﹣1 B．+1 C． D．

【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，，则四边形ABCD的面积是（）

A． B．4 C． D．

【例2】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（）

A．4m B．5m C．6m D．8m

【变式1】如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．绳长BA＝2m，当秋千摆动到最高点A时，测得∠ABD＝60°．当秋千从A处摆动到A′时，A′B⊥AB，则A′到地面的距离是m．

【变式2】一台拖拉机沿公路AB以200m/min的速度从A行驶到B，点C为一所学校，AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，距离拖拉机250m以内会受噪音影响．

（1）学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？

（2）学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？

考向四勾股定理与折叠问题

【例1】在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（????

A．152 B．254 C．4

【变式1】如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②B