高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数的运算.docxVIP

4.3.2对数的运算

1.对数的运算性质

如果a0，且a≠1，M0，N0，则

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和.

这个性质可推广到若干个正因数的积:

loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni0，i=1，2，3，…，k).

即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.

(2)logaMN=logaM-logaN

即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.

(3)logaMn=nlogaM(n∈R).

即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.

特别地，logaaN=N.

2.换底公式及导出公式

(1)换底公式:logab=logcblog

(2)logab=1lo

(3)logaN=loganN

(4)nmlogaN=logam

对数的运算性质

[例1]计算:(1)(lg5)2+2lg2-(lg2)2;

(2)lg3+2

(3)log535-2log573+log57-log5

解:(1)原式=(lg5)2+(2-lg2)lg2

=(lg5)2+(1+lg5)lg2

=(lg5)2+lg2·lg5+lg2

=(lg5+lg2)lg5+lg2

=lg5+lg2=1.

(2)原式=lg3+

=(1+45+

(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log59

=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+

log55

=2log55=2.

(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.

(2)对数计算问题中，涉及lg2，lg5时，常利用lg2+lg5=1及lg2=1-lg5，lg5=1-lg2等解题.

针对训练1:计算:

(1)lg14-2lg73

(2)lg2×lg50+lg5×lg20-lg100×lg5×lg2;

(3)2lg2+lg31+lg0

解:(1)法一原式=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)

=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.

法二原式=lg14-lg(73)2

=lg14×7(

(2)原式=lg2×(lg5+1)+lg5×(2lg2+lg5)-2lg5×lg2

=lg2lg5+lg2+lg5lg5

=lg5(lg2+lg5)+lg2

=lg5+lg2=1.

(3)原式=lg4+lg3lg10+lg0.6+lg2

换底公式及其推论的应用

类型一用已知对数式表示对数值

[例2]已知log37=a，2b=3，试用a，b表示log1456.

解:因为2b=3，

所以b=log23，即log32=1b

log1456=log3

=3log32+log3

用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.

针对训练2:(1)已知log147=a，log145=b，用a，b表示log3528;

(2)已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645.

解:(1)log147=a，log145=b，

所以log3528=log1428log1435

(2)因为log189=a，18b=5，所以log185=b，

所以log3645=log1845log1836

类型二应用换底公式及其推论求值

[例3]计算:(1)log1627×log8132;

(2)(log32+log92)(log43+log83).

解:(1)log1627×log8132=lg27lg16×lg32lg81=lg33lg24

(2)(log32+log92)(log43+log83)

=(log32+log32log

=(log32+12log32)(12log23+13

=32log32×56log

=54×lg2lg3

=54

(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.

(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般需要统一成一种表达形式.

针对训练3:计算:

(1)log23×log34×log45×log52;

(2)log89×log