2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用1.pdfVIP

2020届高考数学命题猜想

函数与方程﹑函数模型及其应用1

【考向解读】

求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数

模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的

交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高

综合分析、解决问题的能力．

【命题热点突破一】函数零点的存在性定理

1．零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0·，那么，

函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0

的根．

2．函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)

的图象交点的横坐标．

例1、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在

2个零点，则a的取值范围是

A.[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）

【答案】C

【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保

证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此

时满足，即，故选C.

【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.



0,1

【答案】（1）见解析；（2）.



（2）（ⅰ）若a0，由（1）知，fx至多有一个零点.



（ⅱ）若a0，由（1）知，当xlna时，fx取得最小值，最小值为.



①当a1时，由于，故fx只有一个零点；



a1,fx

②当时，由于，即，故没有零点；