2024—2025学年广东省东莞市翰林高级中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年广东省东莞市翰林高级中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.直线的倾斜角为（）

A．150°

B．120°

C．60°

D．30°

(★)2.已知向量，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★)3.已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（）

A．

B．

C．

D．

(★)4.已知点，则点A到直线的距离是（）

A．

B．

C．

D．

(★)5.如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（）

A．

B．

C．

D．2

(★★★)8.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A．若空间向量，，则在上的投影向量为

B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角

C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面

D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则

(★★★)10.已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（）

A．的最大值为5

B．的最大值为

C．的最大值为

D．圆心到直线的距离最大为4

(★★★)11.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（）

A．

B．离心率为

C．的面积为6

D．的面积为12

三、填空题

(★★★)12.已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为__________.

(★★★)13.由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为______.

(★★★)14.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点P使得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是______

四、解答题

(★★★)15.已知顶点、、

(1)求边上中线所在的直线方程；

(2)求边上高线所在的直线方程；

(3)求的面积.

(★★★)16.已知圆心在直线上的圆C经过两点和

(1)求圆C的方程;

(2)设点，若圆C上存在点P满足，求实数a的取值范围.

(★★★)17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值；

(3)直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.

(★★★)18.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值；

(3)求面积的最大值.

(★★★★)19.《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，