2025版高考数学二轮复习专题四 立体几何 第6讲 立体几何中的动态问题解析版.docx

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第6讲立体几何中的动态问题（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 2

【考点一】动点轨迹问题 12

【考点二】折叠、展开问题 20

【考点三】最值、范围问题 27

【专题精练】 36

考情分析：

“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．

真题自测

真题自测

一、解答题

1．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

??

(1)证明：；

(2)点在棱上，当二面角为时，求．

2．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

3．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．

（1）求证：为的中点；

（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

4．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

参考答案：

1．(1)证明见解析；

(2)1

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

??

则，

，

，

又不在同一条直线上，

.

（2）设，

则，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

，

化简可得，，

解得或，

或，

.

2．(1)证明过程见解析

(2)与平面所成的角的正弦值为

【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.

【详解】（1）因为，E为的中点，所以；

在和中，因为，

所以，所以，又因为E为的中点，所以；

又因为平面，，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，

所以，所以，

当时，最小，即的面积最小.

因为，所以，

又因为，所以是等边三角形，

因为E为的中点，所以，，

因为，所以,

在中，，所以.

以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

又因为，所以，

所以，

设与平面所成的角为，

所以，

所以与平面所成的角的正弦值为.

3．（1）证明见解析；（2）．

【分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.

【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，

由于为正方体，为中点，故，

从而四点共面，即平面CDE即平面，

据此可得：直线交平面于点，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，

即点为中点.

(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2，设，

则：，

从而：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

从而：，

则：，

整理可得：，故（舍去）.

【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

4．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；

【详解】（1）[方法一]：几何法

因为，所以．

又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，

因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，

易证，则．

又因为，所以．

又因为，所以平面．

又因为平面，所以．

[方法二]【最优解】：向量法

因为三棱柱是直三棱柱，底面，

，，，又，平面．所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．

由题设（）．

因为，

所以，所以．

[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．

（2）[方法一]【最优解】：向