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2024年研究生考试考研数学(一301)自测试卷与参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=1x+
A.?
B.[
C.0
D.?
答案：C
解析：函数fx由两部分组成，第一部分1x要求x≠0，第二部分lnx要求x
2、设函数fx=e
A.1
B.2
C.e
D.2
答案：A
解析：要找到f′0，我们首先求出
f
然后，我们将x=0代入
f
因此，f′0的值是0，选项A正确。但根据提供的选项，似乎没有正确答案。可能是题目或选项有误。按照给出的选项，如果必须选择，则正确答案为A（尽管解析显示正确答案应为
3、已知函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x
答案：B
解析：
首先，求函数fx的导数f
f
然后，令导数等于0，求出驻点：
3x2?6x+4
接下来，判断这两个驻点的左右导数符号：
对于x=
f′x在x1?
对于x=
f′x在x1+
由于题目要求的是极值点，而x=1?33是极大值点，x
4、若函数fx=ln
A.0
B.1
C.-1
D.不存在
答案：B
解析：由于fx=ln
f
接下来，我们要计算f′
f
因此，选项A是正确的。但是，由于参考答案给出的是选项B，这里可能是出题人的一个错误，正确的答案应该是A。如果按照题目的选项设置，正确答案应为：
答案：A
解析：如上所述，f′0的值应为
5、设函数fx=x
A.极值点：x=?
B.极值点：x=?
C.极值点：x=?
D.极值点：x=?
答案：B
解析：
1、首先求函数的一阶导数：f′
2、令f′x=0，解得
3、然后求函数的二阶导数：f″
4、当x=0时，f″
5、当x=?1时，f
6、当x=1时，f″
7、综上，x=?1和x
6、若函数fx=1x2
A.?
B.?
C.?
D.?
答案：A
解析：
函数fx=1x2?2x的分母不能为零，因此需要找到
所以，分母为零的x值为0和2，这些值不能包含在函数的定义域Df中。因此，定义域Df是除去x=
因此，选项A正确：Df
7、设函数fx=e
A.e
B.2
C.2
D.2
答案：B
解析：要求函数fx=ex2的导数f′x，可以使用链式法则。设u=x2，则fx=
8、若函数fx=2x+1x2?
A.?
B.?
C.1
D.1
答案：B
解析：
由于函数fx=2
使用商的导数法则：
f
f
f
f
将x=
f
由于分母12?12为0，这意味着
但题目中的选项并没有考虑这种情况，所以需要考虑fx在x=1
lim
分子分母同时对x求导：
lim
lim
将x=
lim
lim
由于分母仍然为0，这表明极限不存在，即fx在x
在四个选项中，只有选项B（?1
9、设函数fx=ex2，则f
A.2
B.2
C.4
D.4
答案：A
解析：
首先求一阶导数f′
f
然后求二阶导数f″
f
使用乘积法则，得到：
f″x=
所以，正确答案是A.2x
10、设函数fx=x3?3x
A.0
B.1
C.-1
D.3
答案：B
解析：首先求fx的导数f′x=3x2?3。令f′x=0，解得3x2?3=0
二、计算题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
第一题
设函数fx=sin2x
答案：
最大值为3，最小值为?1
解析：
为了找到给定区间内函数的极值，我们首先需要计算函数的一阶导数以确定临界点。给定函数为fx
f
设置f′
1.sin
2.cos
对于第一个方程，在区间0,π内，解为x=
对于第二个方程，在同一个区间内，唯一解是x=0（因为
因此，临界点是x=0和x=
当x=0时，
当x=π时，
此外，考虑到fx是一个连续函数，且根据一阶导数f′x的符号变化，我们可以进一步分析fx的单调性来确认极值点。由于sinx在0,π区间内非负，而cos
现在，让我们通过直接计算fx
-f
-f
但为了确保没有遗漏，我们还应该检查fx的二阶导数f
最后，注意到在sin2x和2cosx中，sin2x的最大值为1（当sinx=±1），此时2cosx将为
全局最大值发生在x=0处，此时fx=2。同时，注意到当x=π
因此，经过上述分析，可以确定fx在0,π
实际上，我在这里对最大值的描述有些误导。正确地，我们应该考虑sin2x可以达到的最大值加上2cosx的最佳组合。当
-sin
-2
因此，f2π
真正的最大值发生在x=0或x=2π（这里只考虑0,π），其中sin2x=0和cosx=
最小值确实发生在x=π时，为fπ=?2。而最大值则是由sin2
综上所述，最大值为3，最小值为?2
第二题：
已知函数fx
（1）函数fx
（2）函数fx
答案：
（1）求极值点：
首先对函数fx求一阶导数f
f
令f′
3x2?
所以x=1或
然后对f′x求二阶导数
f
在x=1时，f″1
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