高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数函数的图象和性质的应用(习题课).docxVIP

第2课时对数函数的图象和性质的应用(习题课)

对数函数的单调性

类型一利用单调性比较大小

[例1]比较下列各组数的大小.

(1)log124

(2)log123与lo

(3)loga2与loga3(a0，且a≠1).

解:(1)y=log12x在(0，

又因为4567，所以log1

(2)因为在x∈(1，+∞)上，y=log15x的图象在y=log

所以log123lo

(3)当a1时，y=logax为增函数，

所以loga2loga3;

当0a1时，y=logax为减函数，

所以loga2loga3.

比较两个对数值大小的方法

(1)logab与logac型(同底数)

①构造函数y=logax;

②判断b与c的大小关系;

③利用y=logax的单调性比较大小.

(2)logac与logbc型(同真数)

①在同一平面直角坐标系中作y=logax与y=logbx的图象;

②作直线x=c与两图象分别交于A，B两点;

③根据点A，B高低判断对数值的大小.

(3)logab与logcd型(底数不同，真数不同)

①取中间值，通常为1，0，logad或logcb;

②把两个对数值与中间值进行比较;

③利用不等关系的传递性，间接得到对数值的大小关系.

针对训练1:比较下列各组数的大小.

(1)loga2.7，loga2.8(a0，且a≠1);

(2)log34，log65;

(3)log0.37，log97.

解:(1)当a1时，由函数y=logax的单调性可知

loga2.7loga2.8;

当0a1时，同理可得loga2.7loga2.8.

(2)log34log33=1，log65log66=1，

所以log34log65.

(3)log0.37log0.31=0，log97log91=0，

所以log0.37log97.

类型二对数不等式解法

[例2](1)解不等式log2(x+1)log2(1-x);

(2)若loga231，

解:(1)原不等式等价于x

解得0x1.

所以原不等式的解集为(0，1).

(2)若a1，则loga231=logaa，

若0a1，则loga231=logaa

所以0a23

综上所述，实数a的取值范围是(0，23)∪(1，

(1)logaf(x)logag(x)，a1与不等式组f(

(2)logaf(x)logag(x)，0a1与不等式组f(

(3)特别地，当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a1及0a1进行分类讨论.

针对训练2:解关于x的不等式.

(1)log0.1(x+2)log0.1x2;

(2)loga(x+1-a)1.

解:(1)原不等式等价于x

解得-2x-1或x2，

故原不等式的解集为{x|-2x-1或x2}.

(2)①当a1时，原不等式等价于x

解得x2a-1.

②当0a1时，原不等式等价于x

解得a-1x2a-1.

综上，当a1时，不等式的解集为{x|x2a-1};

当0a1时，不等式的解集为{x|a-1x2a-1}.

类型三对数型复合函数的单调性

[例3]求函数f(x)=loga(2x2-3x-2)的单调区间.

解:由2x2-3x-20得函数f(x)的定义域为{x|x2或x-12

当a1时，y=logat为增函数，t=2x2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减

所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12

当0a1时，y=logat为减函数，t=2x2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减

所以f(x)在(2，+∞)上单调递减，在(-∞，-12

综上可知，当a1时，f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-12

当0a1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-12)，单调递减区间为(2，

解决对数型复合函数单调性问题的思路

(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数，即y=logaf(x)型;另一类是内层函数为对数函数，即y=f(logax)型.

①对于y=logaf(x)型复合函数的单调性，有以下结论:在a1时，函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)0)的单调性相同，在0a1时相反.

②研究y=f(logax)型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t=logax，则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.

(2)研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.

针对训练3:(1)函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调递减区间为()

A.(-∞，1) B.(-∞，-2)

C.(4，+∞) D.(-∞，1]

(2)函数y=log0.5(5+4x-x2)的单调递减区