（寒假）人教版数学七年级寒假精讲精练08 平方根+随堂检测（教师版）.docVIP

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08平方根

知识点一

知识点一

算术平方根的定义和性质

◆1、算术平方根的定义：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.

a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.

即x2=a(x0)

x叫做a的算术平方根，记作：x=.

规定：0的算术平方根是0.记作:=0.

◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.

①被开方数一定是非负数，即a≥0.

②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0.

◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.

◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.

【注意】实际上省略了2a中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”.

知识点二

知识点二

算术平方根的估算

◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.

知识点三

知识点三

用计算器求算术平方根

◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根.

◆2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).

知识点四

知识点四

平方根的定义和性质

◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.

◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.

◆3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.

正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．

◆4、算术平方根与平方根的联系和区别：

联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.

（3）0的平方根是0，算术平方根也是0.

区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.

（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为，正数a的平方根表示为；

◆5、平方根的性质：

①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.

题型一求一个数的算术平方根

题型一求一个数的算术平方根

【例题1】求下列各数的算术平方根：

（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（?32

【分析】根据开方运算，可得算术平方根．

【解答】解：（1）144=12

（3）614=

解题技巧提炼

根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数.

【变式1-1】9的值等于（）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．5

【分析】根据算术平方根定义解答．

【解答】解：∵32＝9，∴9=3，故选：A

【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．

【变式1-2】16的算术平方根是（）

A．4 B．2 C．±4 D．±2

【分析】利用算术平方根的意义解答即可．

【解答】解：∵16=4，4的算术平方根为2，∴16的算术平方根是2，故选：B

【变式1-3】36的算术平方根是（）

A．±6 B．6 C．±6 D．

【分析】先求出36的算术平方根36=

【解答】解：∵36=6，∴6的算术平方根为6．故选：D

【点评】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根．

【变式1-4】若a=5，则a

A．10 B．5 C．25 D．±25

【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．

【解答】解：∵52＝25，∴若a=5，则a的值为25．故选：C

【变式1-5】设x＝﹣22，y=(?3)2

A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6

【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．

【解答】解：∵x＝﹣22，y=(?3)2，∴x＝﹣4，y＝3，∴xy＝﹣4×3＝﹣

【变式1-6】求下列各式的值：

（1）144；（2）2549；（3）10000；（4）0.0049

【分析】根据算术平方根